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假设方程（1）中的a=1，b=—1，c=—1，则有
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x2-x-1=0.(3)
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我们令x0=0，然后用方程（2）迭代计算得到
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x1=—1,
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x2=—0.666 666 667,
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x3=—0.619 047 619,
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x4=—0.618 034 448,
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x5=—0.618 033 989.
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于是，仅通过5次迭代就已经得到了方程（3）的精确到小数点后第9位的数值解。
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数值法的一大优点是，它能够解出大部分数学方程，尤其适用于求解复杂的方程。比如说，2000多年以前中国古代数学名著《九章算术》中，就已经有了求平方根和立方根数值解的机械算法“开方术”和“开立方术”。在此基础上，北宋的贾宪（活动于约1050年）发明了“增乘开方法”（其中要用到著名的“贾宪三角”），南宋的秦九韶（1202—1262）发明了“正负开方术”。这些都是求高次方程数值解的机械算法——从理论上讲，可以用它们求出任意高次方程根的数值解。作为对比，前述“解析法”最多只能求出4次方程的根。
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然而，数值法的最大优点在于，它其实是一种机械的解题方法，因此可以通过计算机来实现。事实上，人类一开始建造计算机的目的就是为了数值计算。1946年问世的第一台计算机ENIAC，其全称是“电子数值积分计算机”。以后，计算机才被越来越多地用于信息处理。不过，随着科学技术的发展，对数值计算的需求也在快速增长：如卫星上天、天气预报、建造大坝、设计飞机、模拟飞行、生产新药等，都需要进行大量的计算。为此人们不惜花费巨资建造速度越来越快的“超级计算机”。由美国克莱公司在2012年制造的“泰坦”，是目前世界上运算速度最快的超级计算机，其运算速度达到每秒1.759亿亿次，它主要用于模拟分子生物学现象、磁性材料中原子和电子之间的相互作用、大气活动等的数值计算。
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鉴于数值计算在人类生产劳动和科学研究中占据越来越重要的地位，许多数学家认为，依赖于计算机的机械化数值计算方法将成为数学研究的主流。他们的看法并非毫无道理。
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现在回首来看数学研究的另一大任务——数学命题证明。人们不禁要问：数学证明是否也能实现像数值计算那样的机械化，从而也可以通过计算机来完成？
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2.逻辑推理的机械化
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关于推理证明的机械化尝试，可以追溯到17世纪德国数学家和哲学家莱布尼茨。这位兴趣广泛古今闻名的大学者在20岁时就发表了一部题名《组合的艺术：把所有关于真理的推理归结为一种演算的通用方法》的著作，其中试图通过把复杂的概念分解为一些简单概念符号的组合，来建立起一个符号化的推理演算体系。莱布尼茨设想有了这样一种能表示所有的思想和概念的“普遍符号语言”体系，人们就不必为了一些信念和理论而徒劳地费尽口舌地争论不休了。到那时，只需争论的各方都拿出纸和笔，说：“让我们来演算一下，看看究竟谁对谁错。”就像解决数学问题一样。莱布尼茨一生致力于建立这样的体系，但并没有完成。
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200多年以后，英国数学家布尔（George Boole，1815—1864）于1854年发表了著作《作为数学逻辑和概率理论基础的思想规律研究》。其中，他用“×”、“+”和“-”这些原来的数学四则运算符号，来表示逻辑运算“与”、“或”和“非”；并用数字“1”和“0”来表示命题的“真”和“假”；运用这些符号，他把复杂的命题分解为一些简单的基本命题的逻辑组合，而命题的真假则可归结为组成它的那些基本命题的真假情况。就这样，布尔创立了关于命题演算的符号化系统，后被称为“布尔代数”。这是朝莱布尼茨的目标前进了一大步。布尔代数后来在数字电路技术、通信论和信息论中也有广泛的应用。
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3.机器证明的前进脚步
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计算机数学证明的首次尝试，始于美国卡内基梅隆大学的计算机与心理学教授西蒙（Herbert Simon，1916—2001）与兰德公司的数学家和计算机专家纽厄尔（Allen Newell，1927—1992）和肖（John Cliff Shaw，1922—1991）的合作。他们三人于1956年研制了一套叫做“逻辑理论机”（Logical Theory Machine，简记LTM）的计算机程序，并运用该程序试图证明罗素和怀特海合作的名著《数学原理》中开头52条定理，结果成功证明了其中的38条。LTM程序使用的证明方法是模拟人类思维方式的“试探法”（Heuristics），这种方法的优点是适用范围广，如它还可以用于发现化学和物理学定律，建立决策系统和实现计算机弈棋等。
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LT M是第一套有实用意义的人工智能领域中的计算机软件，它对以后人工智能研究的发展有相当大的影响。它的发明者中的两位—西蒙和纽厄尔—后被称为人工智能符号主义学派的创始人，因为他们试图用《数学原理》中所阐述的符号化数理逻辑系统，建立起人工智能的理论。1975年，西蒙和纽厄尔因“在人工智能和人类认知心理学等领域的基础贡献”而荣获由美国计算机协会颁发的图灵奖。顺便提一下，西蒙还由于“在经济组织中决策过程的开创性研究”而在1978年获得诺贝尔经济学奖。
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基于“试探法”的LTM程序虽然有较广泛的应用，但它的实际推理能力并不强，速度也不快。两年后，美国哈佛大学的数理逻辑教授王浩（1921—1995）取得了更好的结果。
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1958年夏天，王浩用计算机汇编语言编写了三个数学证明程序，并在IBM704型计算机上运行。其中第一个程序用于证明《数学原理》前五章中关于命题演算的200多个定理，结果在37分钟内完成。如果去除数据输入输出时间，计算机实际运行不到3分钟。第二个程序要求计算机形成新的命题，并从中挑选出非平凡的。结果在1小时内构建并证明了1万4千条命题，并选出1千多条较有意义的定理。第三个程序处理带等式的谓词演算。结果在1小时内证明了《数学原理》后五章中带等式谓词演算的150多条定理中的120多条。一年后，王浩用改进的程序，只花8.4分钟就证明了《数学原理》中带等式谓词演算的全部350多条定理。
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作为比较，用西蒙等人设计的LTM程序证明《数学原理》中的定理2.45用了12分钟，证明定理2.31运行23分钟后仍无结论。而用王浩的程序，证明这两条定理分别只用了3秒和6秒。
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王浩的证明方法大致是这样的：因为《数学原理》中的定理公式大都是用形式化语言写成的符号序列，王浩通过巧妙地逐步消除这些符号序列中的逻辑算符（即“∩”和“∪”等符号），使得公式不断地简化，最后形成证明。
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