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数学文化教程 [:1701013773]
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数学文化教程 第七节 重建人体内部的三维图像—计算机X射线断层成像（CT）的数学理论
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到医院做CT检查，现在已经成为人们的常识。这是计算机技术造福人类的一个重要事件。但是，它的核心思想，是基于一项称为“拉东变换”的数学工作。
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1.从X射线透视说起
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德国物理学家伦琴（Wilhelm Conrad Röntgen，1845—1923）在1895年宣布发现了X射线，他因此获得1901年首届诺贝尔物理学奖。伦琴也许不曾想到，他的发现很快在医学诊断领域得到了广泛的应用。因为X射线具有强大的穿透能力，能够轻易地通过人体。这使得医生无需施用外科手术，就能窥探病人体内，从而做出准确诊断。
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当X射线通过人体时，对于体内的不同组织，如肌肉、血管、骨骼、脏腑等，有不同的穿透率；体内病变的组织，如发炎或肿瘤，它们的X射线穿透率也与正常组织不同。所以如果让人体置于X射线源与感应胶片之间，就能在胶片上留下体内组织的X射线投影像，医生则可以根据影像来诊断病情。这就是传统的X射线成像仪的工作原理。
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然而，由传统X射线成像仪所形成的人体内部纵向面的投影像，只包含了体内组织的二维结构信息，它无法提供体内横截面（断层）上组织的情况。所以，虽然传统X射线成像仪对于诊断骨折或肺部感染之类的病情有很大帮助，但对于诊断脑部疾病或内脏肿瘤之类的疑难杂症却无能为力。
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在很多诊疗场合，医生非常需要获得病人体内组织的断层结构信息，但只有切开身体，才能观察到体内断层，而这将不可避免地伤害病人，甚至危及生命。
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1972年，在英国出现了一种神奇装置，叫做“计算机辅助X射线断层成像仪”（Computer Assisted Tomography，简称CAT或CT）；它能够在不损伤病人的情况下，提供人体从头到脚各部位的断层X射线图像（图9.7.1—图9.7.3）。利用CT，医生可以轻而易举地观察到人体内部哪怕是微小的病变和病灶分布，以便及早采取正确的治疗措施，从而拯救了无数患者的生命。
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1979年10月11日，诺贝尔的诞辰，位于瑞典首都斯德哥尔摩的卡罗琳医学院宣布，当年的诺贝尔生理学或医学奖授予美国人柯马克（Allan MacLeod Cormack，1924—1998）和英国人豪斯菲尔德（Godfrey Newbold Hounsfield，1919—2004），以表彰他们“发明了计算机辅助X射线断层成像技术”。卡罗琳医院的葛雷茨（Torgny Greitz）教授在授奖发言中说：“今年诺贝尔生理学或医学奖的两位获奖者都不是医学专家，然而他们在医学领域掀起了一场革命……他们发明的计算机辅助X射线成像技术，使医学如同进入了太空时代。”“没有什么医学成就能够像CT技术那样，立即被广泛接受并得到毫无保留的热烈欢迎。”“柯马克和豪斯菲尔德开创了医学诊断的新时代……（他们的工作）正符合诺贝尔在其遗嘱中有关‘为人类作出最有益贡献’的规定，没有几位诺贝尔生理学或医学奖的获得者能够达到像他们那样的符合程度。”
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▲ 图9.7.1 CT颅脑横断层图
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▲ 图9.7.2 CT腹部横断层图
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◀ 图9.7.3 病人在接受CT诊断
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2.CT成像基于数学原理
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CT是如何做到在不损伤病人的情况下获得病人体内断层的图像的？原来，它借助于一种叫做“拉东变换”的数学理论。
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如前所述，人体内部不同的组织具有不同的X射线衰减率（穿透率）。所以，如果能够知道人体内X射线衰减率的分布，就能够重建体内组织的图像了。这正是CT所要做的。
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如图9.7.4所示，一束X射线从一定点A穿过人体，到达P点。由于在途中经受不同物质的吸收，所以在P点接收到的X射线的强度较在A点出发时有了一定的衰减，其衰减程度与AP间物质的平均X射线衰减率有关。从而，通过比较和计算，可以求出从A点到P点的平均X射线衰减率。令X射线源沿着圆周从A点移动到B点，发射的X射线将从B点穿过人体达到Q点。同样道理，可以计算求出从B点到Q点的平均X射线衰减率。于是，令X射线源沿圆周移动一圈，以不同的角度分别发射X射线穿透人体，就得到了无数的不同角度直线上的平均X射线衰减率。
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▲ 图9.7.4 CT工作原理图
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1917年，奥地利数学家拉东（Johann Radon，1887—1956）发表了一篇论文，其中提出，对于一个定义在一定区域上的函数f，如何从该函数在以不同角度穿过该区域的直线上的积分值，来求得其分布解的变换方法。这个积分就被称为f的拉东变换，其表达式为
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