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x1=—1,
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x2=—0.666 666 667,
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x3=—0.619 047 619,
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x4=—0.618 034 448,
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x5=—0.618 033 989.
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于是，仅通过5次迭代就已经得到了方程（3）的精确到小数点后第9位的数值解。
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数值法的一大优点是，它能够解出大部分数学方程，尤其适用于求解复杂的方程。比如说，2000多年以前中国古代数学名著《九章算术》中，就已经有了求平方根和立方根数值解的机械算法“开方术”和“开立方术”。在此基础上，北宋的贾宪（活动于约1050年）发明了“增乘开方法”（其中要用到著名的“贾宪三角”），南宋的秦九韶（1202—1262）发明了“正负开方术”。这些都是求高次方程数值解的机械算法——从理论上讲，可以用它们求出任意高次方程根的数值解。作为对比，前述“解析法”最多只能求出4次方程的根。
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然而，数值法的最大优点在于，它其实是一种机械的解题方法，因此可以通过计算机来实现。事实上，人类一开始建造计算机的目的就是为了数值计算。1946年问世的第一台计算机ENIAC，其全称是“电子数值积分计算机”。以后，计算机才被越来越多地用于信息处理。不过，随着科学技术的发展，对数值计算的需求也在快速增长：如卫星上天、天气预报、建造大坝、设计飞机、模拟飞行、生产新药等，都需要进行大量的计算。为此人们不惜花费巨资建造速度越来越快的“超级计算机”。由美国克莱公司在2012年制造的“泰坦”，是目前世界上运算速度最快的超级计算机，其运算速度达到每秒1.759亿亿次，它主要用于模拟分子生物学现象、磁性材料中原子和电子之间的相互作用、大气活动等的数值计算。
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鉴于数值计算在人类生产劳动和科学研究中占据越来越重要的地位，许多数学家认为，依赖于计算机的机械化数值计算方法将成为数学研究的主流。他们的看法并非毫无道理。
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现在回首来看数学研究的另一大任务——数学命题证明。人们不禁要问：数学证明是否也能实现像数值计算那样的机械化，从而也可以通过计算机来完成？
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2.逻辑推理的机械化
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关于推理证明的机械化尝试，可以追溯到17世纪德国数学家和哲学家莱布尼茨。这位兴趣广泛古今闻名的大学者在20岁时就发表了一部题名《组合的艺术：把所有关于真理的推理归结为一种演算的通用方法》的著作，其中试图通过把复杂的概念分解为一些简单概念符号的组合，来建立起一个符号化的推理演算体系。莱布尼茨设想有了这样一种能表示所有的思想和概念的“普遍符号语言”体系，人们就不必为了一些信念和理论而徒劳地费尽口舌地争论不休了。到那时，只需争论的各方都拿出纸和笔，说：“让我们来演算一下，看看究竟谁对谁错。”就像解决数学问题一样。莱布尼茨一生致力于建立这样的体系，但并没有完成。
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200多年以后，英国数学家布尔（George Boole，1815—1864）于1854年发表了著作《作为数学逻辑和概率理论基础的思想规律研究》。其中，他用“×”、“+”和“-”这些原来的数学四则运算符号，来表示逻辑运算“与”、“或”和“非”；并用数字“1”和“0”来表示命题的“真”和“假”；运用这些符号，他把复杂的命题分解为一些简单的基本命题的逻辑组合，而命题的真假则可归结为组成它的那些基本命题的真假情况。就这样，布尔创立了关于命题演算的符号化系统，后被称为“布尔代数”。这是朝莱布尼茨的目标前进了一大步。布尔代数后来在数字电路技术、通信论和信息论中也有广泛的应用。
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3.机器证明的前进脚步
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计算机数学证明的首次尝试，始于美国卡内基梅隆大学的计算机与心理学教授西蒙（Herbert Simon，1916—2001）与兰德公司的数学家和计算机专家纽厄尔（Allen Newell，1927—1992）和肖（John Cliff Shaw，1922—1991）的合作。他们三人于1956年研制了一套叫做“逻辑理论机”（Logical Theory Machine，简记LTM）的计算机程序，并运用该程序试图证明罗素和怀特海合作的名著《数学原理》中开头52条定理，结果成功证明了其中的38条。LTM程序使用的证明方法是模拟人类思维方式的“试探法”（Heuristics），这种方法的优点是适用范围广，如它还可以用于发现化学和物理学定律，建立决策系统和实现计算机弈棋等。
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LT M是第一套有实用意义的人工智能领域中的计算机软件，它对以后人工智能研究的发展有相当大的影响。它的发明者中的两位—西蒙和纽厄尔—后被称为人工智能符号主义学派的创始人，因为他们试图用《数学原理》中所阐述的符号化数理逻辑系统，建立起人工智能的理论。1975年，西蒙和纽厄尔因“在人工智能和人类认知心理学等领域的基础贡献”而荣获由美国计算机协会颁发的图灵奖。顺便提一下，西蒙还由于“在经济组织中决策过程的开创性研究”而在1978年获得诺贝尔经济学奖。
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基于“试探法”的LTM程序虽然有较广泛的应用，但它的实际推理能力并不强，速度也不快。两年后，美国哈佛大学的数理逻辑教授王浩（1921—1995）取得了更好的结果。
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1958年夏天，王浩用计算机汇编语言编写了三个数学证明程序，并在IBM704型计算机上运行。其中第一个程序用于证明《数学原理》前五章中关于命题演算的200多个定理，结果在37分钟内完成。如果去除数据输入输出时间，计算机实际运行不到3分钟。第二个程序要求计算机形成新的命题，并从中挑选出非平凡的。结果在1小时内构建并证明了1万4千条命题，并选出1千多条较有意义的定理。第三个程序处理带等式的谓词演算。结果在1小时内证明了《数学原理》后五章中带等式谓词演算的150多条定理中的120多条。一年后，王浩用改进的程序，只花8.4分钟就证明了《数学原理》中带等式谓词演算的全部350多条定理。
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作为比较，用西蒙等人设计的LTM程序证明《数学原理》中的定理2.45用了12分钟，证明定理2.31运行23分钟后仍无结论。而用王浩的程序，证明这两条定理分别只用了3秒和6秒。
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王浩的证明方法大致是这样的：因为《数学原理》中的定理公式大都是用形式化语言写成的符号序列，王浩通过巧妙地逐步消除这些符号序列中的逻辑算符（即“∩”和“∪”等符号），使得公式不断地简化，最后形成证明。
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在取得了这一系列重要成果之后，王浩郑重宣布：建立数理逻辑学应用新分支的时机已到，这个新分支可称为“推理分析”，它对于数学证明的作用就像数值法对于解数学方程；相信它在不久的将来能够使计算机证明困难的新数学定理。王浩因其在数学机械证明领域中的开创性贡献，而于1983年荣获由人工智能国际联合会与美国数学会联合颁发的“里程碑奖”（Milestone Prize）。
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王浩出生于山东济南，父亲是中学教师。王浩从小就喜爱哲学和逻辑。1939年考入西南联大数学系，学习期间经常到哲学系听课。1946年考入美国哈佛大学哲学系，毕业后曾到欧洲的瑞士苏黎世工业大学和英国牛津大学等处做研究和讲学，回到美国后，又先后在哈佛大学和洛克菲勒大学任教授。王浩在哲学、数理逻辑学和计算机科学等领域作出了一系列重要的贡献：除了计算机证明外，还包括改进形式化公理系统，提出关于图灵机的新理论，以及证明了一类逻辑公式的不可判定性，等等。王浩和著名逻辑学家哥德尔交往甚密，他后来把两人之间的谈话内容编写成著作出版。
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20世纪50年代，王浩打算多掌握一些有实用性的知识，以便回国效力，于是开始学习刚刚兴起的计算机理论。结果没多久，他就在计算机证明中取得了开创性的成就。后因种种原因，直到1972年，他才得以回国讲学。王浩后来在海外多次撰文，赞扬新中国所取得的种种成就。
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4.吴文俊独辟蹊径
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客观地讲，在罗素的《数学原理》中所演绎的，是一种建立在符号逻辑基础上的形式化的数学，与实际的数学有区别。所以说，王浩利用计算机所证明的，大多是形式化数学的定理。要让计算机证明真正的数学定理，还需要克服许多困难。
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