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要满足“3+□=0”，□中的数字应该是-3这个负整数（用□表示的算式是方程式）。
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古代的人们原本只认同正整数和0的“数的世界”，但是在加法的“演算”中，他们发现还需要有“负整数”。
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“正整数”“0”和“负整数”统称为“整数”。
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有理数（分数）
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同样地，想到“整数”和“乘法”，人们又发现必须要有“有理数（分数）”的存在。
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能满足“3×□=-5”的□中的数字，在整数的世界里可是找不到的。这个“□=-5/3”是一个分数。
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顺便告诉大家，“有理数”这种说法是由英文rational number翻译而来的，但它似乎是翻译上的一个失误。ratio是“比”的意思，所以直译过来应该是“比数”的意思。
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无理数
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接着想到了“相同的数字相乘”，发现又需要有新的数了。
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“□×□=2”，满足这个算式的□在整数和分数中都找不到。□是1.41421356……用2表示。这种数称为“无理数”，小数点以后的部分无限不循环。
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实数
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有理数（包括整数和分数）和无理数共同构成的数的世界称为“实数”。
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想要对我们身边的事物和现象加以说明，有了实数的世界就足够了。黄金比例（1.618……）、白银比例（1.414……）、圆周率（3.141……）、纳皮尔常数e（2.718……）等著名的无理数都存在于实数的世界。
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不真实存在的“虚数”
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方程式“□×□=2”可以在实数中找到□的数值，可是问题在于“□×□=-2”的方程式。满足这个方程式中□的数，在实数的世界里是不存在的。
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这种新的“虚数”从发现到被认同经历了很长的一段时间。16世纪时，意大利数学家卡尔达诺（1501～1576）在解一个三次方程式时，初次导入了虚数的概念。
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另外，法国哲学家、数学家笛卡儿（1596～1650）将虚数命名为“超越想象的数”，成为英语imaginary number的词源。
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笛卡儿的这个命名，对新的数似乎持否定态度，认为它是看不见、摸不着的。在那个时代，0和负数姑且都被认为是架空的数，何况是满足“□×□=-2”的数呢，更是得不到人们的承认。
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有趣的是，日本很多理工科的学生都认为“虚数并不存在”。原因是很多实数的现实性（如尺子刻度上的数字）对虚数来说并不存在，更不用说“虚数”“imaginary number”带有否定意味的词语一直在给这种思想以支持。
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笛卡儿对于虚数的否定想法直到现在依然存在。
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欧拉的出场
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但是虚数确实存在。这与实数存在的理由完全相同。因此，无论实数，还是虚数，都在“数的世界”里真实存在着。
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给虚数赋予现实意义的正是巨人欧拉。
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