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也许算不上常识，却可以变成一种常识。在我刚学数学时发生的一件事，让我至今记忆犹新。我那时大约6岁，我躺在父母房间的地板上，脸贴着长绒地毯，眼睛盯着房间里的立体声音响，音响播放的可能是甲壳虫乐队的蓝版专辑（Blue Album）第二面的歌曲。在20世纪70年代，立体声音响都有刨花板做的面板，在侧面凿有气孔。这些气孔排列成矩形，每行有8个，每列有6个。我平躺在那儿，看着这些气孔——6行8列。我一边上下左右打量着这些气孔，一边翻来覆去地琢磨：6行，每行8个孔；8列，每列6个孔。
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突然，我明白了：每列6个、共8列，与每行8个、共6行的总数一样多。没有人告诉我这个规律，但我知道结果就是这样。因为无论你怎么数，气孔的数量都不变。
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我父母的立体声音响，1977年
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我们在教授数学时，往往会告诉学生们很多法则。学生们按部就班地学习这些法则，而且必须按照老师的指示来学习，否则就会得C–。其实，他们所学的并不能被称为数学，数学研究的应该是事物的某些必然规律。
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坦率地说，并不是所有的数学知识都像加法、乘法那样，凭直觉就能轻而易举地掌握。比如，我们不能借助常识来学习微积分。但是，即使是微积分，也是由常识演变而来的。艾萨克·牛顿（Isaac Newton）将我们对直线运动物体的物理直觉加以整理，把它变成一种形式主义的产物，对运动进行了普适性的数学描述。只要我们掌握了牛顿的这套理论，就可以解决那些可能令我们束手无策的难题。同样，我们的大脑有一种先天能力，可以评判某种结果发生的可能性。但是，这种能力非常弱，在评判发生可能性极低的事件时更加不可靠。在这种情况下，我们需要适度地用一些可靠的原理与技术手段去辅助我们的直觉，于是概率这种数学理论应运而生。
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数学界使用的交流语言非常特殊，功能十分强大，可以准确、方便地传递复杂的内容。但是，由于其他人对这套语言并不熟悉，因此他们以为数学家的思维方式与普通人大相径庭。事实上，这样的想法大错特错。
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掌握了数学知识，就像给常识装上了核能驱动的假肢，可以让我们走得更远、更快。尽管数学的功能十分强大，数学的符号体系与抽象性有时让人难以理解，但是数学思维与我们思考实际问题的方法并无多大区别。大家可以想象钢铁侠用拳头在砖墙上砸出一个洞的场景，这个方法有助于我们理解数学思维的特点。一方面，托尼·史塔克（Tony Stark）砸穿砖墙的力量并非来自他的肌肉，而是来自一套精准的同步伺服系统，这套伺服系统的动力由一个小型贝塔粒子发电机提供。另一方面，对于托尼·史塔克而言，他所做的就是砸墙这个动作，跟没有装备时的砸墙动作并无区别，只不过有了装备之后，难度变小了。
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克劳塞维茨（Clausewitz）说过：“数学就是常识的衍生物。”
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如果没有数学帮助我们弄清条理，常识有可能会把我们引入歧途。前面说的美国军官就是受到常识的误导，准备给飞机上防护能力已经很强的部位加装装甲。但是，尽管数学具有很强的条理性，如果仅凭抽象推理，而不经常性地辅以我们在数量、时间、空间、运动、行为及不确定性等方面的直觉感知，也就是说脱离了常识的帮助，那么，数学领域的任何活动都将变成循规蹈矩地生搬书本知识，不会产生任何有益的结果。换言之，这样的数学就像学生们在学习微积分时所发的牢骚一样，毫无意义可言。
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这是非常危险的。1947年，约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）在他的论文《数学家》（The Mathematician）中发出警告：
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如果数学这门学科逐步偏离现实生活的经验，并且渐行渐远，以至于第二代和第三代数学人无法在“现实生活”中萌生某些想法并直接受到启迪，那么我们将面临非常严重的威胁。它会在唯美的道路上越走越远，演变成“为了艺术而艺术”。如果周围的相关学科仍然与经验有着密切的联系，或者某位鉴赏能力超强的人可以对数学产生影响，那么发生这种情况未必是件坏事。但是，数学的这种发展势头几乎没有遇到任何阻力，而且在偏离经验的过程中分解成多个不起眼的分支，最终局面有可能变得支离破碎、杂乱无序，这相当危险。换句话说，在远离经验的哺乳，或者说“抽象研究”大量“近亲繁殖”之后，数学将面临堕落的危险。[5]
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本书将讨论哪些数学知识？
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如果你对数学的了解完全来自学校教育，那么你所掌握的数学知识就十分有限，在某些重要方面甚至是错误的。学校里教授的数学知识大多是一系列确凿的事实，以及权威给出的、不容置疑的法则。在学校里，数学就是一些已经定型的知识。
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事实上，数学并没有完全定型。即使是数字与几何图形这些最基本的学习内容，我们所掌握的知识远比我们尚未掌握的少。而且，我们已经学会的那些知识，也是无数人付出努力、经过反复争论、解决一个个疑团之后才得到的。在编写教材时，所有这些努力与喧嚣都被小心翼翼地摒弃了。
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毫无疑问，数学中存在某些事实。对于“1+2=3是否正确”这个问题，人们从来没有提出过多少争议。至于“是否能证明1+2=3以及如何证明”，这个问题在数学与哲学之间摇摆不定，则是另外一回事了。在本书结语部分，我们将讨论这个问题。其计算毫无疑问是正确的，人们的疑惑存在于其他方面。在后文中，我们将不止一次地讨论这个问题。
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数学中的事实可能非常简单，也可能非常复杂，可能十分浅显，也可能十分深奥。这样的特点将数学一分为四：
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像1+2=3这样比较基础的算术题结构简单，内容也不那么深奥。sin2x=2sinxcosx及二次方程式等基础内容也大致差不多，虽然与1+2=3相比，理解这些内容可能需要多花点儿时间和精力，但是它们在概念上并没有多大的理解难度。
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在复杂–浅显这个部分，我们有两位数的乘法、复杂定积分的计算。在研究生院学习一两年之后，还会接触更复杂的概念。可以想见，我们出于这样或那样的原因，有可能需要解决这类问题。不可否认的是，如果不借助机器，这样的工作有时根本无法完成，至少会让人头疼一番。至于复杂的难题，如果我们上学时没有努力学习，可能连问题都无法看懂。但是，即便解决了所有这些问题，我们也并不会因此更加了解我们所在的这个世界。
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至于复杂–深奥这个部分，则是像我这样的专业从事数学研究的人需要投入大量时间的地方。这里有众多大名鼎鼎的定理与猜想：黎曼假设，费马最后定理[6]，庞加莱猜想，P vs NP（多项式对非确定多项式），哥德尔定理等。这些定理内涵丰富，具有重要的意义，表现出令人窒息的美感。这些定理残酷无情又无懈可击，人们围绕它们写就了一本本专著。
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本书介绍的内容并不是这些定理，而是图的左上部分，即简单–深奥的数学知识。无论我们在数学方面受到的教育与训练止于代数之前，还是远远超过这个范围，本书讨论的数学思想都将与我们的生活产生直接联系，为我们带来益处。这些内容不是像简单代数那样的“纯粹事实”，而是一些原理，其应用将远远突破我们对数学的既有理解。它们是常备工具，只要应用得当，就可以避免我们犯错。
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理论数学是一方净土，远离尘世间的各种纷扰与矛盾，我就是在理论数学的浸淫下长大的。与我一起学数学的其他小伙伴们一个个受到了物理学、基因组学或者对冲基金管理的黑色艺术的诱惑，而我对这类“青春期萌动”则敬而远之。[7]在读研究生期间，我全身心地投入数论研究。卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）把数论称作“数学皇后”，认为它是理论程度最高的学科之一，也是位于理论数学这方净土核心位置的一个不为人所知的乐园。它曾经让希腊人头疼不已，并在随后的2 500年里不断地折磨着一代代数学人。
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起初，我研究的是既经典又有特色的数论，试图证明整数四次幂求和方面的一些事实。当家人在感恩节晚宴上不断追问它的情况时，我虽然可以向他们解释一二，但我无法让他们明白我的证明过程。不久之后，我又迷上了更加抽象的研究领域，其中的一些基本概念乏人问津，讨论的场所只限于牛津大学、普林斯顿大学、京都大学、巴黎大学和威斯康星大学麦迪逊分校（我目前在此任教）的学术报告厅与教师休息室。如果我告诉你这些内容内涵丰富、极富美感，令我热血沸腾，而且我永远会乐此不疲地研究它们，那么你只能相信我的话。因为这些研究极为深奥，哪怕只是触及皮毛，也需要投入大量的学习时间。