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但是，只要曲线在某个地方向下倾斜，就必然会在其他地方向上延伸。瑞典模式化程度过高的现象肯定存在，所有的经济学家都承认这一事实。拉弗指出，在他之前已经有很多社会学家意识到了这个问题，但是对大多数人而言，这个事实并不是显而易见的，至少在看到餐巾纸上的那幅图之前如此。拉弗非常清楚，他的这幅曲线图并不能告诉大家，所有的经济在任一特定时间是否存在征税过度或不足的问题，这正是他在图上没有给出任何数字的原因。在向国会提供证言时，有人就最优税率的具体额度提出了疑问，拉弗回应道：“坦率地说，我无法估量其具体额度，但是我知道最佳税率具有哪些特征。是的，先生，我知道。”所有的拉弗曲线都表明，在某些情况下低税率可以增加税收，但是具体在哪些情况下会产生这种效果，则需要展开一些深入的、难度颇大的具体工作，这是无法在一张餐巾纸上完成的。
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拉弗曲线本身并没有错，不过人们将其付诸应用的方式有可能出错了。瓦内斯基与受他的指挥棒指挥的那些政客们一起，成为有史以来最古老的“假演绎推理”的猎物：
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·降低税率有可能增加政府收入；
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·我希望降低税率可以增加政府收入；
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·因此，降低税率肯定会增加政府收入。
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[1]在这里，“瑞典模式化程度”表示“社会服务与福利的特点”，而不是指瑞典的其他特点。
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[2]拉弗对餐巾纸一说表示异议。他回忆说，那家饭店使用的是高档布餐巾，他绝不会在上面随意地画经济学图表。
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[3]如果换算成现在的收入，应该是50万~100万美元。
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[4]供应学派预测，所得税税率降低之后，富人们的工作劲头将会更足，政府税收也会随之增加。但税收增加的原因是不是这个，很难确定。
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[5]它们甚至有可能是多条曲线。马丁·加德纳（Martin Gardner）曾经对“拉弗曲线”进行了刻薄的评论。他画了一堆缠绕不清的曲线，然后把它们叫作“新拉弗曲线”。
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 [:1701022616]
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 第2章 不是所有的线都是直线
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即使数学专业人士不告诉我们，我们可能也不会认为所有的线都是直线。但是线性推理却无处不在，只要你认为“某个东西有价值，因此多多益善”，就是一种线性推理。这也是叫嚣的政客们惯用的伎俩：“你们支持对伊朗采取军事行动吧？我想，任何国家胆敢在我们面前放肆的话，你们都会希望对他们发起地面进攻！”还有的政客则处于另一个极端：“要与伊朗开战吗？你们可能认为阿道夫·希特勒也被误解了。”
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只要稍加思考，我们立刻就能发现这种推理是错误的，但是，为什么有那么多人会犯这种错误呢？毫无疑问，并不是所有的线都是直线，但是为什么有人会持相反的错误观点呢？即使他们很快醒悟并改正过来，这样的错误也是难以想象的。
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原因之一就在于，从某种意义上看，所有的线的确都是直线。让我们从阿基米德（Archimedes）谈起。
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穷竭法与圆的面积
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下面这个圆的面积是多少？
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在现代，这是一个非常普通的问题，在SAT（学术能力评估测试）中出现这样的题目也无可厚非。圆的面积是πr2，在本例中，半径r为1，因此，圆的面积就是π。但是，在2000年前，人们苦苦思索却不得其解，这个问题引起了阿基米德的注意。
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这个问题的难点在哪儿呢？一方面，我们认为π是一个数字，而古希腊人却认为只有1、2、3、4……这些用来计数的整数才是数字。不过，古希腊几何学的第一个伟大成就——勾股定理[1]，却突破了他们的这个数字系统。
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试看下图：
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勾股定理告诉我们，直角三角形斜边（上图中倾斜的边，与直角没有接触）的平方是其余两边（直角边）的平方和。在本图中，根据勾股定理，斜边的平方为，而且斜边比1长、比2短（这个无须任何定理，目测就可以确定）。至于斜边的长度不是整数，这对古希腊人来说不是问题。也许，我们使用的测量单位是不正确的吧。如果我们设定直角边的长度是5个单位，我们就可以用直尺量出斜边的长度约为7个单位。因为斜边的平方是：