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如果斜边的长度是7个单位，它的平方就是7×7=49。
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如果直角边的长度为12个单位，斜边的长度就十分接近于17个单位。不过，令人心痒不已的是，这次又短了一点儿，因为，而172是289，就少那么一点点。
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公元前5世纪，毕达哥拉斯的一位门徒发现了一个令人震惊的现象：等腰三角形的三条边长不可能都是整数。现代人都知道“2的平方根是无理数”，也就是说这个数不是任何两个整数的比，但是，当时的那些学者并不知道。他们能有什么办法呢？他们的数量概念是建立在整数的基础上的。因此，在他们看来，直角三角形斜边的长度根本不是一个数字。
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这个发现引起了轩然大波。要知道，毕达哥拉斯的这些门徒非常怪异，他们的人生哲学一片混沌，在我们现代人看来，就是数学、宗教与精神病构成的大杂烩。在他们眼中，奇数是吉利的，而偶数则是邪恶的。他们认为在太阳的另外一边还有一个与地球一模一样的星球，即“反地球”（Antichthon）。某些记载表明，他们认为吃蚕豆是不道德的，因为人死之后，灵魂会寄存在蚕豆中。据说，毕达哥拉斯本身可以与牲畜交谈（他告诉牲畜不要吃蚕豆），也是为数不多的穿裤子的古希腊人之一。
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毕达哥拉斯门徒的数学研究与他们的思想有不可分割的联系。发现2的平方根不是有理数的那个家伙名叫希帕索斯（Hippasus），传说（不一定是真实事件，但是从中可以窥见毕达哥拉斯门徒的处世风格）他在证明了这个令人厌恶的定理之后，得到的“奖励”是被同窗扔进大海淹死了。
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希帕索斯可以被淹死，但是定理却无法回避。毕达哥拉斯之后的学者（包括欧几里得和阿基米德）知道，虽然2的平方根这样的数字将迫使他们从整数这个世外桃源中走出来，但他们还是得挽起衣袖，完成测算工作。人们都不知道，圆的面积是否可以仅靠整数表示出来。[2]但是，为了制造车轮、修建筒仓[3]，他们必须学会计算圆的面积。
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第一个提出解决方法的是欧多克斯（Eudoxus of Cnidus），欧几里得把这个方法作为第12个基本原理收入《几何原本》（Euclid’s Elements），但在这个方面取得大进展的是阿基米德。如今，我们把这个方法叫作穷竭法（method of exhaustion），其基本原理如下：
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图中的正方形叫作内接正方形，正方形的4个角与圆接触，但是没有超出圆的范围。这样做的理由是什么呢？这是因为圆神秘莫测，令人望而生畏，而正方形的面积则易于计算。如果一个正方形的边长为x，其面积就是x乘以x。因此，我们把数字与自身相乘的运算叫作平方。这个方法蕴含了一个基本的数学思想：如果老天要我们解决一个非常难的问题，那么我们应该想方设法找到一个简单的问题，而且这个简单的问题与难的问题非常接近，这样，老天也不会有反对意见。
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内接正方形可以分成4个三角形，这4个三角形都与我们前面画的等腰直角三角形一模一样。[4]因此，正方形的面积就是三角形面积的4倍。沿对角线将一个像金枪鱼三明治那样的1×1正方形切成两半，如下图所示，就可以得到一个上图中的等腰直角三角形：
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金枪鱼三明治的面积是1×1=1，因此，形状为等腰直角三角形的半个三明治的面积是1/2，内接正方形的面积就是1/2的4倍，即2。
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假设你原来不知道勾股定理，那么现在你已经知道了，至少你知道勾股定理是关于这个特殊的直角三角形的。因为位于下方的那半个金枪鱼三明治是一个直角三角形，与内接正方形左上方的图形形状相同，而且这个三角形的斜边就是内接正方形的边。因此，这条斜边的平方，就是内接正方形的面积，即2。用简练的术语表示的话，斜边的长度就是2的平方根。
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内接正方形被圆全部包围在内，如果正方形的面积是2，那么圆的面积肯定不小于2。
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接下来，我们再画一个正方形：
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这个正方形叫作外切正方形，它也与圆有4个接点，但是将圆全部包围在内。正方形的边长是2，面积为4，因此，圆的面积不超过4。
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也许，证明圆周率在2与4之间并不是一件了不起的事，但是阿基米德的研究还没有结束。取内接正方形的4个顶点，标出相邻两个顶点之间圆弧的中点。这样，我们在圆上就得到了4个均匀分布的点，把这8个点连起来，就得到一个内接八边形：
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