打字猴:1.701023021e+09
1701023021
1701023022 在现代,这是一个非常普通的问题,在SAT(学术能力评估测试)中出现这样的题目也无可厚非。圆的面积是πr2,在本例中,半径r为1,因此,圆的面积就是π。但是,在2000年前,人们苦苦思索却不得其解,这个问题引起了阿基米德的注意。
1701023023
1701023024 这个问题的难点在哪儿呢?一方面,我们认为π是一个数字,而古希腊人却认为只有1、2、3、4……这些用来计数的整数才是数字。不过,古希腊几何学的第一个伟大成就——勾股定理[1],却突破了他们的这个数字系统。
1701023025
1701023026 试看下图:
1701023027
1701023028
1701023029
1701023030
1701023031
1701023032 勾股定理告诉我们,直角三角形斜边(上图中倾斜的边,与直角没有接触)的平方是其余两边(直角边)的平方和。在本图中,根据勾股定理,斜边的平方为,而且斜边比1长、比2短(这个无须任何定理,目测就可以确定)。至于斜边的长度不是整数,这对古希腊人来说不是问题。也许,我们使用的测量单位是不正确的吧。如果我们设定直角边的长度是5个单位,我们就可以用直尺量出斜边的长度约为7个单位。因为斜边的平方是:
1701023033
1701023034
1701023035
1701023036
1701023037 如果斜边的长度是7个单位,它的平方就是7×7=49。
1701023038
1701023039
1701023040 如果直角边的长度为12个单位,斜边的长度就十分接近于17个单位。不过,令人心痒不已的是,这次又短了一点儿,因为,而172是289,就少那么一点点。
1701023041
1701023042
1701023043
1701023044
1701023045 公元前5世纪,毕达哥拉斯的一位门徒发现了一个令人震惊的现象:等腰三角形的三条边长不可能都是整数。现代人都知道“2的平方根是无理数”,也就是说这个数不是任何两个整数的比,但是,当时的那些学者并不知道。他们能有什么办法呢?他们的数量概念是建立在整数的基础上的。因此,在他们看来,直角三角形斜边的长度根本不是一个数字。
1701023046
1701023047 这个发现引起了轩然大波。要知道,毕达哥拉斯的这些门徒非常怪异,他们的人生哲学一片混沌,在我们现代人看来,就是数学、宗教与精神病构成的大杂烩。在他们眼中,奇数是吉利的,而偶数则是邪恶的。他们认为在太阳的另外一边还有一个与地球一模一样的星球,即“反地球”(Antichthon)。某些记载表明,他们认为吃蚕豆是不道德的,因为人死之后,灵魂会寄存在蚕豆中。据说,毕达哥拉斯本身可以与牲畜交谈(他告诉牲畜不要吃蚕豆),也是为数不多的穿裤子的古希腊人之一。
1701023048
1701023049 毕达哥拉斯门徒的数学研究与他们的思想有不可分割的联系。发现2的平方根不是有理数的那个家伙名叫希帕索斯(Hippasus),传说(不一定是真实事件,但是从中可以窥见毕达哥拉斯门徒的处世风格)他在证明了这个令人厌恶的定理之后,得到的“奖励”是被同窗扔进大海淹死了。
1701023050
1701023051 希帕索斯可以被淹死,但是定理却无法回避。毕达哥拉斯之后的学者(包括欧几里得和阿基米德)知道,虽然2的平方根这样的数字将迫使他们从整数这个世外桃源中走出来,但他们还是得挽起衣袖,完成测算工作。人们都不知道,圆的面积是否可以仅靠整数表示出来。[2]但是,为了制造车轮、修建筒仓[3],他们必须学会计算圆的面积。
1701023052
1701023053 第一个提出解决方法的是欧多克斯(Eudoxus of Cnidus),欧几里得把这个方法作为第12个基本原理收入《几何原本》(Euclid’s Elements),但在这个方面取得大进展的是阿基米德。如今,我们把这个方法叫作穷竭法(method of exhaustion),其基本原理如下:
1701023054
1701023055
1701023056
1701023057
1701023058 图中的正方形叫作内接正方形,正方形的4个角与圆接触,但是没有超出圆的范围。这样做的理由是什么呢?这是因为圆神秘莫测,令人望而生畏,而正方形的面积则易于计算。如果一个正方形的边长为x,其面积就是x乘以x。因此,我们把数字与自身相乘的运算叫作平方。这个方法蕴含了一个基本的数学思想:如果老天要我们解决一个非常难的问题,那么我们应该想方设法找到一个简单的问题,而且这个简单的问题与难的问题非常接近,这样,老天也不会有反对意见。
1701023059
1701023060 内接正方形可以分成4个三角形,这4个三角形都与我们前面画的等腰直角三角形一模一样。[4]因此,正方形的面积就是三角形面积的4倍。沿对角线将一个像金枪鱼三明治那样的1×1正方形切成两半,如下图所示,就可以得到一个上图中的等腰直角三角形:
1701023061
1701023062
1701023063
1701023064
1701023065 金枪鱼三明治的面积是1×1=1,因此,形状为等腰直角三角形的半个三明治的面积是1/2,内接正方形的面积就是1/2的4倍,即2。
1701023066
1701023067 假设你原来不知道勾股定理,那么现在你已经知道了,至少你知道勾股定理是关于这个特殊的直角三角形的。因为位于下方的那半个金枪鱼三明治是一个直角三角形,与内接正方形左上方的图形形状相同,而且这个三角形的斜边就是内接正方形的边。因此,这条斜边的平方,就是内接正方形的面积,即2。用简练的术语表示的话,斜边的长度就是2的平方根。
1701023068
1701023069 内接正方形被圆全部包围在内,如果正方形的面积是2,那么圆的面积肯定不小于2。
1701023070
[ 上一页 ]  [ :1.701023021e+09 ]  [ 下一页 ]