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接下来,我们再画一个正方形:
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这个正方形叫作外切正方形,它也与圆有4个接点,但是将圆全部包围在内。正方形的边长是2,面积为4,因此,圆的面积不超过4。
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也许,证明圆周率在2与4之间并不是一件了不起的事,但是阿基米德的研究还没有结束。取内接正方形的4个顶点,标出相邻两个顶点之间圆弧的中点。这样,我们在圆上就得到了4个均匀分布的点,把这8个点连起来,就得到一个内接八边形:
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计算内接八边形的面积稍有难度,我就不用三角学来为难大家了。重要的是,构成这个图形的是直线与角,而不包含曲线,因此,阿基米德有办法计算它的面积。这个八边形的面积是2的平方根的2倍,约为2.83。
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接下来,我们再引入外切八边形:
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这个外切八边形的面积是,比3.31略大。
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因此,圆的面积被限制在2.83~3.31的范围内。
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没有理由就此停手吧?我们可以在八边形(包括内接八边形与外切八边形)的顶点之间再加入一些点,构成十六边形。通过计算,我们可以发现圆的面积在3.06~3.18的范围内。以此类推,最终得到这样的图形:
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啊,这不就是圆吗?当然不是,它是一个有65 536条边的正多边形。不是吗?
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欧几里得与阿基米德敏锐地发现,无论它是圆还是边长极短、边的数目极大的多边形,这些都不重要,关键在于这两个图形的面积非常接近,两者之间的差别不会产生任何影响。通过不断重复上述操作,圆与多边形之间的面积之差越来越小,最后趋于“穷竭”。圆的确是曲线构成的,但是,如果我们取其中很短的一段,它会非常接近于直线,就像在地球表面取一小片土地,其非常接近于平面一样。
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记住:局部是直线,整体是曲线。
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我们还可以这样考虑,即从一个非常高的高度快速接近圆。起初,我们可以看到整个圆:
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然后,我们只能看到一段弧线:
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接下来,我们看到的是一段更短的弧线:
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