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接下来，我们再画一个正方形：
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这个正方形叫作外切正方形，它也与圆有4个接点，但是将圆全部包围在内。正方形的边长是2，面积为4，因此，圆的面积不超过4。
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也许，证明圆周率在2与4之间并不是一件了不起的事，但是阿基米德的研究还没有结束。取内接正方形的4个顶点，标出相邻两个顶点之间圆弧的中点。这样，我们在圆上就得到了4个均匀分布的点，把这8个点连起来，就得到一个内接八边形：
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计算内接八边形的面积稍有难度，我就不用三角学来为难大家了。重要的是，构成这个图形的是直线与角，而不包含曲线，因此，阿基米德有办法计算它的面积。这个八边形的面积是2的平方根的2倍，约为2.83。
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接下来，我们再引入外切八边形：
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这个外切八边形的面积是，比3.31略大。
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因此，圆的面积被限制在2.83~3.31的范围内。
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没有理由就此停手吧？我们可以在八边形（包括内接八边形与外切八边形）的顶点之间再加入一些点，构成十六边形。通过计算，我们可以发现圆的面积在3.06~3.18的范围内。以此类推，最终得到这样的图形：
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啊，这不就是圆吗？当然不是，它是一个有65 536条边的正多边形。不是吗？
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欧几里得与阿基米德敏锐地发现，无论它是圆还是边长极短、边的数目极大的多边形，这些都不重要，关键在于这两个图形的面积非常接近，两者之间的差别不会产生任何影响。通过不断重复上述操作，圆与多边形之间的面积之差越来越小，最后趋于“穷竭”。圆的确是曲线构成的，但是，如果我们取其中很短的一段，它会非常接近于直线，就像在地球表面取一小片土地，其非常接近于平面一样。
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记住：局部是直线，整体是曲线。
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我们还可以这样考虑，即从一个非常高的高度快速接近圆。起初，我们可以看到整个圆：
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然后，我们只能看到一段弧线：
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接下来，我们看到的是一段更短的弧线：
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