1701023250
布莱恩的运气不错。我在普林斯顿大学的同事爱德华·尼尔森（Edward Nelson）是非标准分析方面的专家。为了让布莱恩进一步了解非标准分析，我安排他们俩见了一面。后来，爱德华告诉我，那次见面并不顺利。在爱德华告诉布莱恩那些无限小量不可以叫作“布莱恩数”之后，布莱恩立刻丧失了兴趣。
1701023251
1701023252
（这给我们上了一堂思想品德课：如果人们学习数学只是为了名声与荣誉，那么他们在数学研究的道路上是走不远的。）
1701023253
1701023254
到目前为止，我们上文讨论的那个争议性问题还没取得任何进展呢。0.999……到底是多少？等于1，还是比1小？两者的差是一个无穷小的数，而这个无穷小的数在100年前还不为人所知？
1701023255
1701023256
正确的做法是谢绝回答这个问题。0.999……到底是多少？这个数字似乎就是下列数字的和：
1701023257
1701023258
0.9+0.09+0.009+0.000 9+……
1701023259
1701023260
但是，这个和到底是什么呢？后面的那个令人讨厌的省略号是个大麻烦。两个数、三个数甚至100个数相加，结果都不可能引起任何争议，这是用数学的方式表示一个我们非常了解的物理过程：取100堆材料，捣碎后混合到一起，看最后得到多少。但是，如果这些材料有无穷多堆，情况就迥然不同了。在现实世界，我们不可能会有无穷多堆材料。无穷级数的和是多少呢？根本没有，除非我们为它赋予一个值。19世纪20年代，奥古斯汀–路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）完成了一个伟大的创新，将极限的定义引入了微积分。[7]
1701023261
1701023262
1949年，英国数论学家哈代（Hardy）在他的专著《发散级数》（Divergent Series）中，把这个问题解释得非常清楚：
1701023263
1701023264
现代数学家从未想到，一堆数学符号竟然需要通过定义为其赋值，才会具有某种“含义”，因此，即使对于18世纪最杰出的数学家而言，这个发现也不能等闲视之。他们非常不习惯这样的定义，每次都要指出“在这里，X的意思是指Y”，这让他们觉得十分别扭。柯西之前的数学家几乎不会提出“我们应该怎么定义1–1+1–1 +……”这样的问题，而会问“1–1+1–1 +……是多少”。这样的思维习惯让他们陷入了毫无意义的困惑与争议（常常会演变成辱骂）中。
1701023265
1701023266
我们不可以把这个问题看作数学领域的相对主义而掉以轻心。我们可以为一组数学符号赋予任何含义，但这并不意味着我们就应该这么做。与现实生活一样，我们关于数学问题的选择，有的是明智的，有的则非常愚蠢。在数学领域，明智的选择可以消除毫无意义的困惑，同时不会引发新问题。
1701023267
1701023268
在计算0.9+0.09+0.009 +……时，加项越多，和就越接近于1，但永远不会等于1。无论我们在离1多近的位置上设置警戒线，在经过有限次数的加法运算之后，和最终都会越过这条警戒线，而且永远不会停下前进的步伐。柯西指出，在这样的情况下，我们应该直接将这个无穷级数的值定义为1。随后，他绞尽脑汁，希望证明在他的这个定义被接受之后，不会在其他方面造成相互矛盾的糟糕局面。在这个过程中，柯西构建了一个框架体系，完美地提升了牛顿微积分学的严谨程度。当我们指出某条曲线的局部接近于直线时，大致的意思是说：我们越靠近观察，这条曲线就越接近于直线。在柯西的框架中，我们无须提及任何无穷小的数字或者其他概念，以免心存疑虑的人因此担心害怕。
1701023269
1701023270
当然，这样的做法是要付出代价的。0.999……这个谜之所以应该被破解，是因为它会导致我们的直觉陷入自相矛盾的状态之中。我们希望可以像上文那样，方便地对无穷级数的和进行各种代数运算，因此，我们需要它等于1。但另一方面，我们又希望每个数只能用一个独一无二的十进制数字来表示，因此，我们不应该随心所欲，一会儿说这个数是1，一会儿又说它是0.999……。我们不可能同时满足这两个要求，而只能放弃其中一个。柯西提出的这个方法经过两百年时间的验证，其价值得到了充分的证明，不过，这个方法放弃了十进制展开的唯一性。在英语中，我们有时会用两个不同的字母串（单词）表示现实世界中的同一个事物，但我们并没有因此陷入任何麻烦。同样，使用两个不同的数字串表示同一个数，也不是不可以接受的。
1701023271
1701023272
至于格兰迪级数1–1+1–1+……，则是柯西定理无法处理的级数之一，这类发散级数是哈代的著作讨论的内容。1828年，柯西定理的早期崇拜者之一、挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）认为：“发散级数是捏造出来的概念，非常邪恶，以此为基础的任何证明都是可耻的。”[8]而哈代的观点，也就是我们现在所持的观点，则十分宽容，认为对于发散级数而言，有的我们应该赋值，有的则不应该赋值，还有的需要根据其所在的具体环境决定是否应该为之赋值。现代数学界认为，如果需要为格兰迪级数赋值，这个值应该是1/2，因为研究发现，对于所有值得关注的无穷级数，理论要么为之赋值1/2，要么（如柯西定理）干脆拒绝为之赋值。[9]
1701023273
1701023274
柯西所给出的定义非常复杂，精确地写出来需要费不少工夫，即使对柯西本人来说也不是件易事，他没能用语言明晰地表述自己的思想。[10]（在数学中，对新观点、新概念最清楚明了的描述，基本上都不是直接来自创建者本人。）柯西是一名坚定的保守主义者和君主主义者，但他引以为豪的是，他在数学研究中极具批判精神，勇于挑战学术权威。他在成功地摒弃容易招致质疑的无穷小量之后，单方面修改了他在巴黎综合理工大学的教学大纲，力求传播自己的新思想。他的这一做法激怒了他身边的所有人：他的学生深感困惑，因为他们报名学习的是针对大学一年级学生的微积分学，而不是介绍纯数学前沿动态的学术成果；他的同事们认为，学校里学习工程技术的学生没有必要吃这个苦头，去钻研柯西讲授的那些高深内容；学校管理部门则严令他按纲施教，不得自由发挥。校方强行制定了新的课程内容，强调在微积分教学中采用包含无限小量概念的传统方法。同时，为了防止柯西置若罔闻，校方还安排人进入他上课的教室做听课记录。但是，柯西并没有就范，柯西对工程师需要学习什么内容不感兴趣，他感兴趣的是探索真理。
1701023275
1701023276
从学校的立场来看，我们很难为柯西的这一做法进行辩解，但我仍然支持他。数学研究的最大乐趣之一，就是我们清楚地感受到自己对某个问题的理解是正确、完全、彻底的，我在其他领域从未有过类似的感受。而且，一旦你知道了正确的做法之后，就很难说服自己去介绍错误的做法，性格执拗的人更加不可能这样做。
1701023277
1701023278
[1]说明一下，我们不知道第一个证明勾股定理的人是谁，不过学术界几乎可以肯定不是毕达哥拉斯（Pythagoras）本人。从与他同时代的人所遗留的资料中可以发现，公元前6世纪，一位名叫毕达哥拉斯的人学识渊博，声名显赫，但是，除此以外，我们对他几乎一无所知。对他生平与研究工作的记载要追溯至他死后800年左右的时间，在此之前的毕达哥拉斯完全是个谜，除了一群哲学门徒自称“毕达哥拉斯”。
1701023279
1701023280
[2]这肯定是不可能的，但是直到18世纪人们才完成了相关证明。
1701023281
1701023282
[3]事实上，早先的筒仓不是圆柱体。直到20世纪，威斯康星大学的金（F·H·King）教授发明了现在普遍采用的圆柱体结构，筒仓才变成了圆柱体。金的这项发明是为了解决筒仓角落里的谷物容易腐烂变质的问题。
1701023283
1701023284
[4]当然，我们可以通过在平面上平移、旋转前面的那个等腰直角三角形，得到能组成一个正方形的4个三角形。我们默认这些操作不会改变图形的面积。
1701023285
1701023286
[5]不考虑万有引力、空气阻力等影响，在较短的时间内，其运动轨迹非常接近直线。
1701023287
1701023288
[6]约翰·康威（John Conway）提出的“超实数”（surreal numbers）就是一个典型的例子。从这个名字就可以看出来，这些数字非常迷人，却又非常怪异。超实数是数字与战略博弈构成的一个奇怪混合体，人们至今还没有完全探索出其中的精义。我们可以从伯莱坎普（Berlekamp）、康威与盖伊（Guy）合著的《稳操胜券》（Winning Ways）一书中了解这些奇怪的数字，还可以学到大量博弈论方面的数学知识。
1701023289
1701023290
[7]数学上的所有突破都是在前人研究成果的基础之上实现的，柯西的极限存在准则也不例外。柯西给出的定义在很大程度上秉承了让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d’Alembert）判别法的核心思想。不过，毫无疑问，柯西定理是一个转折点，从此以后，数学进入了现代分析的时代。
1701023291
1701023292
[8]格兰迪最初在神学研究中应用了发散级数，考虑到这个事实，阿贝尔的这个观点极具讽刺意味。
1701023293
1701023294
[9]琳赛·洛翰（Lindsay Lohan）有一句名言：“极限是不存在的。”
1701023295
1701023296
[10]我们在数学课程里学到的e和∆，就来自柯西积分公式。
1701023297
1701023298
1701023299
[
上一页 ]
[ :1.70102325e+09 ]
[
下一页 ]