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更糟糕的是，你们之所以接受我的证明过程，可能是因为我先进行了乘以10这个运算。但是，这个运算没有问题吗？我们看看下面这个算式的结果是多少。
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1+2+4+8+16 +……
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在这个算式中，符号“……”表示“求和永远不会终止，且每次的加数是前一个加数的2倍”。毫无疑问，该算式的和是一个无穷大的数。上面那个包含0.999 99……的证明过程看似正确，但有一个与之十分相似的证明过程却会得出不同的结果。对上面这个求和算式乘以2，我们得到
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2×（1+2+4+8+16 +……）= 2+4+8+16+……
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这个结果与原来的求和算式十分相似，实际上，它是原来的求和算式1+2+4+8+16 +……减去了第一个加数1，也就是说，2×1+2+4+8+16 +……比1+2+4+8+16 +……少1。换言之
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2×（1+2+4+8+16 +……）–1×（1+2+4+8+16 +……） = –1
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但是，这个算式的左边化简后就会得到原来的求和算式，于是我们得到
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1+2+4+8+16 +……= –1
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你相信这个结果是正确的吗？加数越来越大的无限循环加法运算的结果竟然是负数，你能相信吗？
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还有更让人无法接受的呢，下面这个算式的得数是多少？
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1–1+1–1+1–1 +……
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我们很有可能认为这个得数是
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（1–1）+（1–1）+（1–1）+……=0+0+0+……
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我们还有可能认为，即使有无数个0相加，结果也会等于0。但是，由于负负得正，因此1–1+1等于1–（1–1）。不断地进行这个转换，上面的算式就可以写成
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1–（1–1）–（1–1）–（1–1）……=1–0–0–0……
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这样计算的结果就等于1，道理跟上面的计算一样。那么，结果到底是0还是1呢？还是一半情况下等于0，另一半情况下等于1呢？结果到底等于多少取决于最后一个加数，但是无穷求和算式没有最后一个加数。
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现在的情况比以前更糟糕了，别急着做出判断。假设T是这个神秘的求和算式的得数：
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T=1–1+1–1+1–1+……
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把等式两边都变成各自的相反数，于是我们得到
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–T=–1+1–1+1……
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但是，如果将设为T的部分中的第一个加数1去掉，也就是说T–1，就正好是上述算式的右边部分，即
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–T= –1+1–1+1……=T–1
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于是–T=T–1，如果等式成立，T就等于1/2。无穷多个整数相加，得数竟然神奇地变成了分数，这可能吗？如果觉得不可能，那么我们自然有理由怀疑这样一个看似毫无破绽的证明过程出了问题。但是，请注意，真的有人觉得这个结果是有可能的，比如意大利的数学家、神父圭多·格兰迪（Guido Grandi），格兰迪级数1–1+1–1+1–1 +……就是以他的名字命名的。1703年，格兰迪在一篇论文中证明该级数的和是1/2，而且指出这个神奇的结果表明宇宙是从虚无中产生的。（不用担心，我和大家一样，不会相信他的结论。）当时的杰出数学家，包括莱布尼茨与欧拉，虽然没有接受格兰迪的结论，却认可了他奇怪的计算方法。
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实际上，要解出0.999……这个谜（以及芝诺悖论、格兰迪级数），还需要进行更深入的研究。大家也无须屈从于我的代数知识，违心地接受我的观点。比如说，大家可以坚持认为0.999……不等于1，而是等于1减去一个无限小的数。在这个问题上，大家还可以更进一步，坚持认为0.333……不等于1/3，而是比1/3小，两者的差也是一个无限小的量。完善这样的观点需要一些毅力，但并不是一件不可能的事。我在教授微积分时，有一个名叫布莱恩的学生，因为不满课堂上教的各种定义，自己提出了一大堆理论，并且把他提出的无限小量命名为“布莱恩数”。
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事实上，这样的情况并不是第一次发生。数学中有一个叫作“非标准分析”（nonstandard analysis）的领域，就在专门深入研究这类数字。20世纪中叶，亚伯拉罕·罗宾逊（Abraham Robinson）开拓的这个研究领域，终于为贝克莱觉得荒谬的“迅速消逝的增量”下了明确的定义。我们必须付出的代价（从另一个视角看，未尝不是一种收获）是接受各种各样的新数字，不仅包括无穷小的数字，还包括无穷大的数字，它们奇形怪状、大小不一。[6]
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