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至于格兰迪级数1–1+1–1+……，则是柯西定理无法处理的级数之一，这类发散级数是哈代的著作讨论的内容。1828年，柯西定理的早期崇拜者之一、挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）认为：“发散级数是捏造出来的概念，非常邪恶，以此为基础的任何证明都是可耻的。”[8]而哈代的观点，也就是我们现在所持的观点，则十分宽容，认为对于发散级数而言，有的我们应该赋值，有的则不应该赋值，还有的需要根据其所在的具体环境决定是否应该为之赋值。现代数学界认为，如果需要为格兰迪级数赋值，这个值应该是1/2，因为研究发现，对于所有值得关注的无穷级数，理论要么为之赋值1/2，要么（如柯西定理）干脆拒绝为之赋值。[9]
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柯西所给出的定义非常复杂，精确地写出来需要费不少工夫，即使对柯西本人来说也不是件易事，他没能用语言明晰地表述自己的思想。[10]（在数学中，对新观点、新概念最清楚明了的描述，基本上都不是直接来自创建者本人。）柯西是一名坚定的保守主义者和君主主义者，但他引以为豪的是，他在数学研究中极具批判精神，勇于挑战学术权威。他在成功地摒弃容易招致质疑的无穷小量之后，单方面修改了他在巴黎综合理工大学的教学大纲，力求传播自己的新思想。他的这一做法激怒了他身边的所有人：他的学生深感困惑，因为他们报名学习的是针对大学一年级学生的微积分学，而不是介绍纯数学前沿动态的学术成果；他的同事们认为，学校里学习工程技术的学生没有必要吃这个苦头，去钻研柯西讲授的那些高深内容；学校管理部门则严令他按纲施教，不得自由发挥。校方强行制定了新的课程内容，强调在微积分教学中采用包含无限小量概念的传统方法。同时，为了防止柯西置若罔闻，校方还安排人进入他上课的教室做听课记录。但是，柯西并没有就范，柯西对工程师需要学习什么内容不感兴趣，他感兴趣的是探索真理。
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从学校的立场来看，我们很难为柯西的这一做法进行辩解，但我仍然支持他。数学研究的最大乐趣之一，就是我们清楚地感受到自己对某个问题的理解是正确、完全、彻底的，我在其他领域从未有过类似的感受。而且，一旦你知道了正确的做法之后，就很难说服自己去介绍错误的做法，性格执拗的人更加不可能这样做。
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[1]说明一下，我们不知道第一个证明勾股定理的人是谁，不过学术界几乎可以肯定不是毕达哥拉斯（Pythagoras）本人。从与他同时代的人所遗留的资料中可以发现，公元前6世纪，一位名叫毕达哥拉斯的人学识渊博，声名显赫，但是，除此以外，我们对他几乎一无所知。对他生平与研究工作的记载要追溯至他死后800年左右的时间，在此之前的毕达哥拉斯完全是个谜，除了一群哲学门徒自称“毕达哥拉斯”。
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[2]这肯定是不可能的，但是直到18世纪人们才完成了相关证明。
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[3]事实上，早先的筒仓不是圆柱体。直到20世纪，威斯康星大学的金（F·H·King）教授发明了现在普遍采用的圆柱体结构，筒仓才变成了圆柱体。金的这项发明是为了解决筒仓角落里的谷物容易腐烂变质的问题。
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[4]当然，我们可以通过在平面上平移、旋转前面的那个等腰直角三角形，得到能组成一个正方形的4个三角形。我们默认这些操作不会改变图形的面积。
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[5]不考虑万有引力、空气阻力等影响，在较短的时间内，其运动轨迹非常接近直线。
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[6]约翰·康威（John Conway）提出的“超实数”（surreal numbers）就是一个典型的例子。从这个名字就可以看出来，这些数字非常迷人，却又非常怪异。超实数是数字与战略博弈构成的一个奇怪混合体，人们至今还没有完全探索出其中的精义。我们可以从伯莱坎普（Berlekamp）、康威与盖伊（Guy）合著的《稳操胜券》（Winning Ways）一书中了解这些奇怪的数字，还可以学到大量博弈论方面的数学知识。
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[7]数学上的所有突破都是在前人研究成果的基础之上实现的，柯西的极限存在准则也不例外。柯西给出的定义在很大程度上秉承了让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d’Alembert）判别法的核心思想。不过，毫无疑问，柯西定理是一个转折点，从此以后，数学进入了现代分析的时代。
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[8]格兰迪最初在神学研究中应用了发散级数，考虑到这个事实，阿贝尔的这个观点极具讽刺意味。
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[9]琳赛·洛翰（Lindsay Lohan）有一句名言：“极限是不存在的。”
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[10]我们在数学课程里学到的e和∆，就来自柯西积分公式。
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 第3章 到2048年，人人都是胖子？
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喜剧演员尤金·米尔曼（Eugene Mirman）讲过一个统计学方面的笑话。他说自己经常告诉人们：“通过阅读，我发现美国人百分之百都是亚裔人。”
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人们感到很奇怪，就问他：“但是，你不是亚裔人啊。”
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这时候，尤金就会抖出包袱，非常自信地说：“通过阅读，我发现自己是亚裔人！”
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《肥胖》（Obesity）杂志上的一篇文章，让我不由自主地想起了米尔曼的这个笑话。那篇文章在标题中提出了一个令人尴尬的问题：“所有美国人是否都会超重甚至肥胖？”也许觉得问句的力量还不够震撼，文章又给出了一个肯定的答案：“会的，到2048年就会这样。”
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到2048年，我的年纪将是77岁，我不希望自己超重，但是这篇文章告诉我：我会的！
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不用想都知道，《肥胖》杂志上的这篇文章引起了媒体的关注。美国广播公司（ABC）发出了“肥胖启示”的警告，《长滩电讯日报》（Long Beach PressTelegram）给出了一个直截了当的标题：“我们越来越胖了”。对这个现象稍加研究，我们就会想到最近美国人在思考国民道德现状时，面对各种不同现象所表现出来的焦躁多虑。在我出生之前，男孩子们都留长发，于是人们担心年青一代会不务正业。在我小的时候，我们喜欢玩街机游戏，于是人们觉得我们注定竞争不过勤劳的日本人。现在，我们经常吃快餐，于是人们又怀疑我们将身体虚弱、行动不便，像一摊泥一样，瘫在早已无法摆脱的沙发上死去，周围还堆满了空空的炸鸡桶。显而易见，这篇文章把这种焦虑当作经过科学验证的事实了。
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我要告诉大家一个好消息：到2048年，不会人人都超重。为什么呢？因为不是所有的线都是直线。
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但是，我们在前面讨论过，牛顿发现所有的线都与直线非常接近，由此催生了“线性回归”（linear regression）这个概念。社会学经常要用到线性回归分析这种统计学技术，就像居家维修要使用螺丝刀一样。我们在报纸上看到的那些内容，诸如：有很多亲戚的人会更幸福；“汉堡王”连锁店开得越多的国家，越容易面临道德沦丧的问题；烟酸摄入量减半的话，患足癣的危险就会加倍；收入每增加1万美元，美国人把选票投给共和党的可能性就会增加3%，等等。所有这些，都是线性回归分析的结果。
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下面，我告诉大家线性回归分析的使用方法。假设你要分析两个事物之间的关系，比如大学学费与新生SAT平均分。你可能认为，SAT分数高的学校，很有可能收费也高，但是我们稍做数据分析，就会发现并非如此。毗邻北卡罗来纳州伯灵顿市的伊隆大学，新生数学与语言测试的平均分是1 217分，年均学费是20 441美元。与伊隆大学距离不远、位于格林波若的吉尔佛大学，学费稍高，为23 420美元，但是新生的SAT平均分仅为1 131分。
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