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但是代数不同,它是一种自后向前的计算过程,例如:
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x+8=15
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我们已知加法运算的得数(15),因此我们要完成的是一个逆向运算,即找出与8相加等于15的那个数字。
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七年级的数学老师肯定告诉过我们,在这种情况下,我们可以做一些调整以便于计算,于是上式变成:
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x=15–8
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此时,我们通过15减去8的减法运算算出x等于7。
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但是,并不是所有的代数问题都如此简单。我们还有可能需要解二次方程式,例如:
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x2–x=1
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不会吧?(我听到你发出的惊呼声了。)我们有没有可能遇到这样的问题呢?如果老师不要求,我们才不会解这样的难题呢,不是吗?
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我们回过头去思考第2章讨论的导弹问题,那颗导弹正在向我们快速飞来。
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也许,我们知道导弹是从高于地面100米的位置发射的,上升的速度为200米/秒。如果没有万有引力的作用,根据牛顿定律,导弹将一直沿直线轨迹向上运动,每秒爬升200米,x秒之后的高度可用下列线性函数表示:
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高度=100+200x
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但是,导弹肯定会受到万有引力的影响,因此,它会沿弧形轨迹落在地球上。研究发现,在上述函数中添加一个二次项,就能描述万有引力的作用:
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高度=100+200x–5x2
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其中,该二次项前有一个负号,这是因为万有引力对导弹的作用力是向下而不是向上的。
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有导弹朝我们飞来时,我们可能需要回答很多问题,其中尤为重要的一个问题是:导弹何时着陆?或者说,什么时候导弹的高度为零?也就是说,x的值为多少时,下列方程式成立?
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100+200x–5x2=0
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如何才能解出x的值呢?我想大家可能没有一点儿头绪。但是我们无须担心,因为我们可以借助试错法这个强大的武器。如果我们把x=10代入方程式,就会发现10秒钟之后导弹的高度为1600米。把x=20代入,得数为2100米,这个结果似乎告诉我们导弹仍然在上升。当x=30时,得数又是1600米。这时候我们看到了希望,导弹肯定已经过了最高点。当x=40时,导弹距离地面的高度为100米,已经非常接近地面了。如果把x的值再增加10秒,肯定就会超过弹着时间。当x=41时,得数为–105米,这个数字并不是说我们预测导弹钻到了地面以下,而是说导弹已经落地。此时,我们这个简洁有效的导弹运动模型已经失去效用了。
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如果41秒太长,那么40.5秒呢?当x=40.5时,得数为–1.25米,比0略小一点儿。把时间稍稍回拨至40.4秒,得到19.2米,说明此时导弹还在下降。40.49秒呢?非常接近了,仅比地面高出0.8米……
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我们可以看出,只要小心地调整时间,就可以通过试错法,尽可能准确地估算弹着时间。
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但是,这是不是意味着我们已经求出了方程的解呢?也许吧。因为无论怎么微调时间,哪怕我们把弹着时间精确至发射后40.493 901 531 9……秒,我们也无法知道正确答案到底是多少,我们求出的只是一个近似值。不过,在现实中,把弹着时间精确到百万分之一秒是没有必要的,不是吗?也许,“大约40秒”就足够了。如果试图寻找更准确的答案,那纯属浪费时间,而且,所得出的答案甚至有可能是错误的。这是因为我们的导弹运动模型非常简单,没有考虑空气阻力、天气条件造成的空气阻力变化、导弹的弹体自旋等其他因素。这些因素的影响可能很小,但是,在我们希望把导弹到达预定地点的时间精确到微秒时,它们却足以导致我们无法实现这个目标。
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不过,即使要为这个方程式找出足够准确的根,也无须担心,因为我们可以借助一元二次方程式这个工具。这个方程式我们曾经学过,但是现在未必能想起来,除非我们记忆力超群,或者现在正好12岁。所以,我在这里列出这个方程式。
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如果x是方程式c+bx+ax2=0的一个根,其中,a、b和c为任意数字,那么
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