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在描述导弹高度的方程式中，c=100，b=200，a=–5，由此可以求出x的值：
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在这个算式中，大多数符号都很常见，但是有一个例外，那就是“±”。这个符号看上去好像正号与负号的关系非常亲密。尽管我们写的这个公式充满自信地以“x=”作为开头，但到最后却变得举棋不定、犹豫不决。符号“±”就像涂鸦拼字游戏中的空白牌一样，既可以看作“+”，又可以看作“–”，非常灵活。每个选择所对应的x值都会使方程式100+200x–5x2=0成立。因此，该方程式的根不是一个，而是两个。
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哪怕我们早已忘记一元二次方程式，我们也会知道满足该方程的x值有两个。我们将方程y=100+200x–5x2绘制成图，就会得到下图所示的开口向下的抛物线。
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图中水平直线为x轴，表示该平面上y坐标为0的所有点。当曲线y=100+200x–5x2与x轴相交时，就表示y=0，即100+200x–5x2=0。这正好是我们要求解的方程式，只不过它现在变成曲线与水平直线相交的几何问题了。
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如果开口向下的抛物线向x轴延伸，那么它与x轴的交点正好是两个。换言之，使100+200x–5x2=0成立的x值有两个。
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那么，这两个值到底是多少呢？
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如果把“±”定为“+”，就会得到与我们用试错法得出的结果相同。
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但是，如果我们选择“–”，就会得到。对于我们最初考虑的那个问题而言，这样的答案是没有意义的。对于问题“导弹将在何时击中我”来说，答案不可能是“半秒钟以前”。
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不过，x的这个负数值肯定是该方程的一个根。数学上的任何结果，都不会是无的放矢。那么，这个负数表示什么含义呢？我们可以用下面这个方法来理解。我们说过，导弹的发射位置比地面高出100米，飞行速度为200米/秒。但是，我们在计算中应用的条件是：在时间为零时，导弹在该位置以该速度飞升。如果该位置不是发射时导弹所在的位置呢？也许导弹发射的时间不为零，位置也不是在地面上方100米的高度，而是发射得稍早一些，从地面直接发射的。那么它是什么时间发射的呢？
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通过计算，我们知道导弹位于地面的时间点正好有两个。一个时间点是在0.493 9……秒以前，这就是发射时间；另一个时间点是在40.493 9……秒之后，这是弹着时间。
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求出上述方程式的两个根似乎并不难，如果我们经常使用一元二次方程式，就更容易了。但是，如果我们年仅12岁，这个方程式将会成为我们哲学观的一个转折点。在这之前的6年时间里，我们一直在寻找问题的唯一答案，但是从这一刻起，我们突然发现并不存在“唯一答案”这样的东西，这让我们感到无所适从。
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这还仅仅是一元二次方程式引起的问题。如果我们需要求解的是这样一个一元三次方程式，也就是说x升级为三次幂了。幸运的是，我们可以解开一元三次方程式，通过计算就能知道x的值是多少。文艺复兴后期，一些代数学家在意大利四处游历，以金钱与地位为赌资，与人在公开场合打赌求解方程式。在这个过程中，一元三次方程式诞生了。但是，知道一元三次方程式的人为数不多，他们秘而不宣，记录时也会采用隐晦的韵文形式。
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这件事说来话长，而我在这里要告诉大家的是，逆向运算的难度非常大。
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圣经密码研究者们一直琢磨的推理问题也是一种逆向运算，因此不是轻而易举就能解决的。在我们钻研科学、研究《托拉》或者蹒跚学步时，我们需要通过摆在我们面前的各种观察结果，形成一个个理论。我们要解决的是眼前这个世界的难题，那么答案是什么呢？推理是一项难度很大的工作，甚至是难度最大的工作。我们根据眼前的蛛丝马迹，努力地求解一个又一个x，希望最终能拨开迷雾，找到答案。
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推翻零假设
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有一个基础性问题一直在我们的脑海中挥之不去：在现实生活中发现的各种现象，有的令人惊讶，有的则无须大惊小怪，那么我们应该采取何种判断标准呢？既然本书介绍的是数学，大家肯定认为能找到某种数学方法来解决这个问题。数学的确能帮我们实现这个愿望，但是有时也需要冒很大的风险。因此，我们必须讨论p值的问题。
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在此之前，我们需要先讨论“不可能性”（improbability）这个概念。关于不可能性，我们的理解到目前为止还非常含糊，甚至到了令人无法接受的程度。出现这种局面，是有原因的。数学中某些领域（如几何、代数）的知识是通过代代相传的方式传承下来的，这些领域与我们的直觉关系最为密切。我们几乎一出生就会数数，还会根据物体的位置与形状对其进行分类。对这些概念的诠释，与本书开头所讨论的也没有多大区别。
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但是，概率这个概念则大不一样。当然，我们对于不确定的事物也有某种直觉，不过，想要明确地表达出我们的这种感受是很困难的。一个原因就是概率论在数学史上出现的时间非常晚，最终成为数学课内容的时间就更晚了。如果我们认真思考概率的含义，往往会晕头转向。“抛硬币时正面朝上的概率是1/2”，这个说法的依据是我们在第4章讨论的大数定律。根据大数定律，抛硬币的次数越多，正面朝上的比例就会越趋近于1/2，仿佛在逐渐变窄的航道中航行时船只能前进一样。这就是所谓的概率论。
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但是，有时我们会说“明天的降水概率为20%”，这个说法又是怎么回事呢？明天只会出现一次，无法像抛硬币那样反复实验。经过一番努力，我们也可以把概率论硬套到天气预测上。我们要表达的意思可能是：大量调查发现，如果天气条件与今天类似，那么第二天下雨的天数在总天数中所占比例为20%。但是，如果有人问“人类在下一个千年灭绝的概率是多少”，我们就会目瞪口呆。因为我们知道，这个实验从本质上讲是无法重复的。我们甚至还会运用概率这个概念来讨论与可能性没有任何关系的事件，例如食用橄榄油预防癌症的概率是多少？莎士比亚是莎剧作者的概率是多少？《圣经》与地球是由上帝创造的概率是多少？用评估抛硬币和掷骰子结果的方法来回答这些问题，似乎是没有道理的。不过，在讨论此类问题时，我们会说“似乎不可能”或者“似乎有可能”。因此，我们可能无法抵制诱惑，从而提出“可能性有多大”的问题。
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