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[5]它们甚至有可能是多条曲线。马丁·加德纳（Martin Gardner）曾经对“拉弗曲线”进行了刻薄的评论。他画了一堆缠绕不清的曲线，然后把它们叫作“新拉弗曲线”。
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 [:1701022616]
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 第2章 不是所有的线都是直线
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即使数学专业人士不告诉我们，我们可能也不会认为所有的线都是直线。但是线性推理却无处不在，只要你认为“某个东西有价值，因此多多益善”，就是一种线性推理。这也是叫嚣的政客们惯用的伎俩：“你们支持对伊朗采取军事行动吧？我想，任何国家胆敢在我们面前放肆的话，你们都会希望对他们发起地面进攻！”还有的政客则处于另一个极端：“要与伊朗开战吗？你们可能认为阿道夫·希特勒也被误解了。”
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只要稍加思考，我们立刻就能发现这种推理是错误的，但是，为什么有那么多人会犯这种错误呢？毫无疑问，并不是所有的线都是直线，但是为什么有人会持相反的错误观点呢？即使他们很快醒悟并改正过来，这样的错误也是难以想象的。
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原因之一就在于，从某种意义上看，所有的线的确都是直线。让我们从阿基米德（Archimedes）谈起。
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穷竭法与圆的面积
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下面这个圆的面积是多少？
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在现代，这是一个非常普通的问题，在SAT（学术能力评估测试）中出现这样的题目也无可厚非。圆的面积是πr2，在本例中，半径r为1，因此，圆的面积就是π。但是，在2000年前，人们苦苦思索却不得其解，这个问题引起了阿基米德的注意。
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这个问题的难点在哪儿呢？一方面，我们认为π是一个数字，而古希腊人却认为只有1、2、3、4……这些用来计数的整数才是数字。不过，古希腊几何学的第一个伟大成就——勾股定理[1]，却突破了他们的这个数字系统。
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试看下图：
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勾股定理告诉我们，直角三角形斜边（上图中倾斜的边，与直角没有接触）的平方是其余两边（直角边）的平方和。在本图中，根据勾股定理，斜边的平方为，而且斜边比1长、比2短（这个无须任何定理，目测就可以确定）。至于斜边的长度不是整数，这对古希腊人来说不是问题。也许，我们使用的测量单位是不正确的吧。如果我们设定直角边的长度是5个单位，我们就可以用直尺量出斜边的长度约为7个单位。因为斜边的平方是：
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如果斜边的长度是7个单位，它的平方就是7×7=49。
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如果直角边的长度为12个单位，斜边的长度就十分接近于17个单位。不过，令人心痒不已的是，这次又短了一点儿，因为，而172是289，就少那么一点点。
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公元前5世纪，毕达哥拉斯的一位门徒发现了一个令人震惊的现象：等腰三角形的三条边长不可能都是整数。现代人都知道“2的平方根是无理数”，也就是说这个数不是任何两个整数的比，但是，当时的那些学者并不知道。他们能有什么办法呢？他们的数量概念是建立在整数的基础上的。因此，在他们看来，直角三角形斜边的长度根本不是一个数字。
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这个发现引起了轩然大波。要知道，毕达哥拉斯的这些门徒非常怪异，他们的人生哲学一片混沌，在我们现代人看来，就是数学、宗教与精神病构成的大杂烩。在他们眼中，奇数是吉利的，而偶数则是邪恶的。他们认为在太阳的另外一边还有一个与地球一模一样的星球，即“反地球”（Antichthon）。某些记载表明，他们认为吃蚕豆是不道德的，因为人死之后，灵魂会寄存在蚕豆中。据说，毕达哥拉斯本身可以与牲畜交谈（他告诉牲畜不要吃蚕豆），也是为数不多的穿裤子的古希腊人之一。
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毕达哥拉斯门徒的数学研究与他们的思想有不可分割的联系。发现2的平方根不是有理数的那个家伙名叫希帕索斯（Hippasus），传说（不一定是真实事件，但是从中可以窥见毕达哥拉斯门徒的处世风格）他在证明了这个令人厌恶的定理之后，得到的“奖励”是被同窗扔进大海淹死了。