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希帕索斯可以被淹死，但是定理却无法回避。毕达哥拉斯之后的学者（包括欧几里得和阿基米德）知道，虽然2的平方根这样的数字将迫使他们从整数这个世外桃源中走出来，但他们还是得挽起衣袖，完成测算工作。人们都不知道，圆的面积是否可以仅靠整数表示出来。[2]但是，为了制造车轮、修建筒仓[3]，他们必须学会计算圆的面积。
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第一个提出解决方法的是欧多克斯（Eudoxus of Cnidus），欧几里得把这个方法作为第12个基本原理收入《几何原本》（Euclid’s Elements），但在这个方面取得大进展的是阿基米德。如今，我们把这个方法叫作穷竭法（method of exhaustion），其基本原理如下：
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图中的正方形叫作内接正方形，正方形的4个角与圆接触，但是没有超出圆的范围。这样做的理由是什么呢？这是因为圆神秘莫测，令人望而生畏，而正方形的面积则易于计算。如果一个正方形的边长为x，其面积就是x乘以x。因此，我们把数字与自身相乘的运算叫作平方。这个方法蕴含了一个基本的数学思想：如果老天要我们解决一个非常难的问题，那么我们应该想方设法找到一个简单的问题，而且这个简单的问题与难的问题非常接近，这样，老天也不会有反对意见。
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内接正方形可以分成4个三角形，这4个三角形都与我们前面画的等腰直角三角形一模一样。[4]因此，正方形的面积就是三角形面积的4倍。沿对角线将一个像金枪鱼三明治那样的1×1正方形切成两半，如下图所示，就可以得到一个上图中的等腰直角三角形：
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金枪鱼三明治的面积是1×1=1，因此，形状为等腰直角三角形的半个三明治的面积是1/2，内接正方形的面积就是1/2的4倍，即2。
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假设你原来不知道勾股定理，那么现在你已经知道了，至少你知道勾股定理是关于这个特殊的直角三角形的。因为位于下方的那半个金枪鱼三明治是一个直角三角形，与内接正方形左上方的图形形状相同，而且这个三角形的斜边就是内接正方形的边。因此，这条斜边的平方，就是内接正方形的面积，即2。用简练的术语表示的话，斜边的长度就是2的平方根。
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内接正方形被圆全部包围在内，如果正方形的面积是2，那么圆的面积肯定不小于2。
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接下来，我们再画一个正方形：
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这个正方形叫作外切正方形，它也与圆有4个接点，但是将圆全部包围在内。正方形的边长是2，面积为4，因此，圆的面积不超过4。
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也许，证明圆周率在2与4之间并不是一件了不起的事，但是阿基米德的研究还没有结束。取内接正方形的4个顶点，标出相邻两个顶点之间圆弧的中点。这样，我们在圆上就得到了4个均匀分布的点，把这8个点连起来，就得到一个内接八边形：
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计算内接八边形的面积稍有难度，我就不用三角学来为难大家了。重要的是，构成这个图形的是直线与角，而不包含曲线，因此，阿基米德有办法计算它的面积。这个八边形的面积是2的平方根的2倍，约为2.83。
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接下来，我们再引入外切八边形：
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这个外切八边形的面积是，比3.31略大。
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因此，圆的面积被限制在2.83~3.31的范围内。
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没有理由就此停手吧？我们可以在八边形（包括内接八边形与外切八边形）的顶点之间再加入一些点，构成十六边形。通过计算，我们可以发现圆的面积在3.06~3.18的范围内。以此类推，最终得到这样的图形：
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