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1701023051 希帕索斯可以被淹死,但是定理却无法回避。毕达哥拉斯之后的学者(包括欧几里得和阿基米德)知道,虽然2的平方根这样的数字将迫使他们从整数这个世外桃源中走出来,但他们还是得挽起衣袖,完成测算工作。人们都不知道,圆的面积是否可以仅靠整数表示出来。[2]但是,为了制造车轮、修建筒仓[3],他们必须学会计算圆的面积。
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1701023053 第一个提出解决方法的是欧多克斯(Eudoxus of Cnidus),欧几里得把这个方法作为第12个基本原理收入《几何原本》(Euclid’s Elements),但在这个方面取得大进展的是阿基米德。如今,我们把这个方法叫作穷竭法(method of exhaustion),其基本原理如下:
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1701023058 图中的正方形叫作内接正方形,正方形的4个角与圆接触,但是没有超出圆的范围。这样做的理由是什么呢?这是因为圆神秘莫测,令人望而生畏,而正方形的面积则易于计算。如果一个正方形的边长为x,其面积就是x乘以x。因此,我们把数字与自身相乘的运算叫作平方。这个方法蕴含了一个基本的数学思想:如果老天要我们解决一个非常难的问题,那么我们应该想方设法找到一个简单的问题,而且这个简单的问题与难的问题非常接近,这样,老天也不会有反对意见。
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1701023060 内接正方形可以分成4个三角形,这4个三角形都与我们前面画的等腰直角三角形一模一样。[4]因此,正方形的面积就是三角形面积的4倍。沿对角线将一个像金枪鱼三明治那样的1×1正方形切成两半,如下图所示,就可以得到一个上图中的等腰直角三角形:
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1701023065 金枪鱼三明治的面积是1×1=1,因此,形状为等腰直角三角形的半个三明治的面积是1/2,内接正方形的面积就是1/2的4倍,即2。
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1701023067 假设你原来不知道勾股定理,那么现在你已经知道了,至少你知道勾股定理是关于这个特殊的直角三角形的。因为位于下方的那半个金枪鱼三明治是一个直角三角形,与内接正方形左上方的图形形状相同,而且这个三角形的斜边就是内接正方形的边。因此,这条斜边的平方,就是内接正方形的面积,即2。用简练的术语表示的话,斜边的长度就是2的平方根。
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1701023069 内接正方形被圆全部包围在内,如果正方形的面积是2,那么圆的面积肯定不小于2。
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1701023071 接下来,我们再画一个正方形:
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1701023076 这个正方形叫作外切正方形,它也与圆有4个接点,但是将圆全部包围在内。正方形的边长是2,面积为4,因此,圆的面积不超过4。
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1701023078 也许,证明圆周率在2与4之间并不是一件了不起的事,但是阿基米德的研究还没有结束。取内接正方形的4个顶点,标出相邻两个顶点之间圆弧的中点。这样,我们在圆上就得到了4个均匀分布的点,把这8个点连起来,就得到一个内接八边形:
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1701023083 计算内接八边形的面积稍有难度,我就不用三角学来为难大家了。重要的是,构成这个图形的是直线与角,而不包含曲线,因此,阿基米德有办法计算它的面积。这个八边形的面积是2的平方根的2倍,约为2.83。
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1701023085 接下来,我们再引入外切八边形:
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1701023091 这个外切八边形的面积是,比3.31略大。
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1701023093 因此,圆的面积被限制在2.83~3.31的范围内。
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1701023095 没有理由就此停手吧?我们可以在八边形(包括内接八边形与外切八边形)的顶点之间再加入一些点,构成十六边形。通过计算,我们可以发现圆的面积在3.06~3.18的范围内。以此类推,最终得到这样的图形:
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