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乍一看，有界距离似乎是一个神奇的现象。如果素数的距离有越来越大的趋势，那么，为什么有那么多对彼此相近的素数呢？素数之间存在某种引力吗？
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当然不是这么回事儿。如果我们让数字随意分布，很有可能某些数字两两之间的位置正好非常接近，就像平面上随机分布的点会形成明显的组群一样。
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如果素数具有随机数的特点，不难估计我们将准确地观察到张益唐的研究结果，而且我们还有可能观察到很多素数对的相互距离只有2，如3和5、11和13。这样的素数对就是“孪生素数”，但它们的无穷性还是一种推测，有待进一步证明。
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（下文是一个简短的计算过程。如果你们看不懂，可以直接从“孪生素数的数量如此庞大……”那一段往下看。）
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别忘了，素数定理告诉我们，在前N个数字当中，有N/logN个数字是素数。如果这些数字是随机分布的，每个数字n是素数的概率约为1/logN，数字n与n+2同为素数的概率就是1/logN×1/logN=1/logN2。我们有可能观察到多少对距离为2的孪生素数呢？在我们所研究的范围内，大约有N对（n，n+2），每一对数字是孪生素数的概率为（1/logN）2，因此我们有可能发现N/（logN）2对孪生素数。
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但是，这里的随机性并不十分纯粹，会产生一些微弱的影响，不过数论学家知道该如何应对。我们需要关注的重点是，n为素数与n+1为素数，并不是相互独立的两个事件。n为素数时，n+2是素数的可能性会加大，因此，如果用1/logN×1/logN来表示两者同时成立的概率，就不完全正确。（一种观点认为：如果n是素数且大于2，那么n必然是奇数，因此n+2也是奇数，于是，n+2是素数的可能性更大。）哈代与他的终生合作伙伴利托伍德（J. E. Littlewood）一起，在考虑到这些依存关系的前提下，完成了一个更完善的预测，认为孪生素数的数量实际上比N/（logN）2大32%。根据这种更准确的估计，我们可以预测小于1024的孪生素数的数量应该为1 100 000 000 000左右，而实际数字是1 177 209 242 304，两者非常接近。
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孪生素数的数量如此庞大，不过，这个情况并没有让数论学家感到意外。这不是因为我们认为素数中隐藏着某种神奇的结构，而是因为我们认为这样的神奇结构并不存在，我们猜测素数是随机分布的。如果孪生素数猜想是错误的，孪生素数的存在就是一个奇迹，因为我们需要某种至今为止仍然不为我们所知的力量将这些素数分开。
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我们无须过多了解就会发现，有很多数论方面的著名猜想都是这种情况。哥德巴赫猜想就是一个例子，它认为所有大于2的偶数都是两个素数的和。如果素数表现得像随机数，哥德巴赫猜想就必然是正确的。认为存在任意长的素数等差数列的猜想也同样如此，本·格林（Ben Green）与陶哲轩（Terry Tao）完成了该猜想的证明，陶哲轩还因此获得了2004年的菲尔兹奖。
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其中最有名的是费马于1637年提出的猜想，该猜想断言方程式在A、B、C、n为正整数且n大于2时无解。（如果n等于2，该方程式会有很多根，例如：。）
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当时，大家都坚信费马猜想是正确的，就像我们现在相信孪生素数猜想一样。但是，没有人知道如何证明费马猜想，一直到20世纪90年代，普林斯顿大学的数学家安德鲁·怀尔斯才取得了突破。我们认为，n次完全幂已经非常稀少了，要在极为稀少的随机数集中找到两个数字，使两者的n次幂和等于第三个数字的n次幂，这样的可能性更是接近于零。大多数人甚至认为，广义的费马方程式Ap+Bq=Cr在指数p、q与r足够大时也是无解的。如果在p、q、r都大于3且A、B、C没有相同质因数（素因数）的条件下，有人能证明上述方程无解，达拉斯的一位名叫安德鲁·比尔（Andrew Beal）的银行家就会奖励这个人100万美元。我完全相信这个命题是真的，我的理由是：如果完全幂是随机数，这个命题就应该是真命题。但是我认为，要想完成这个命题的证明，我们还必须了解关于数字的一些全新发现。我与多名合作者一起，花了好几年的时间，证明在p=4、q=2、r>4的条件下广义的费马方程式无解。为了解决这个问题，我们专门设计了一些新方法。很显然，仅凭这些并不足以完成这个价值百万美元的任务。
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尽管有界距离猜想看上去非常简单，但是张益唐的证明却需要运用现代数学的一些非常深奥的定理。张益唐在前辈的研究基础上完成了他的证明：用我们前面提到的第一种方法，即考察多个素数除以3所得余数的情况，可以看出素数具有随机数的特征。他证明了素数的随机性具有完全不同的意义，与相互间距离的大小有某种关系。随机数就是随机数！
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张益唐的成功，以及当代其他数学家（比如本·格林与陶哲轩）所完成的相关研究，都表明我们最终会建立内容更丰富的随机理论，这样的前景甚至比任何单个的研究成果更加令人兴奋。比如，在我们认为数字表现出杂乱无序的随机性分布特征时，我们有某种方法精确地定义这个说法，尽管这种方法的根源是一些实实在在的数论程序。帮助我们彻底揭开素数所有秘密的有可能是一些新的数学理念，而这些理念又赋予了杂乱无序这个概念新的内涵，这样的前景似乎自相矛盾，却又令人无比陶醉！
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[1]有的人坚持应对这种方法加以区分：如果得出自相矛盾的结果，该证明方法就是反证法；如果仅仅得出错误的结果，这种证明方法就是“拒取式论证法”（modus tollens）。
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[2]根据有效的经验法则，你可以推断出，在样本中寻找白化病人时，每名实验对象可以贡献1/20 000的可能性，因此50名对象总的贡献为1/400。这种算法不完全正确，但是在结果非常接近于零（例如本例）的情况下，它通常足够精准。
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[3]读到这里大家就能看懂logN的真正定义了。所谓对数，就是使ex=N等式成立的数字x。这里，e是欧拉数，它的值约等于2.718 28……。这里我使用了“e”，而不是“10”，因为我们准备讨论的对数是自然对数，而不是常用对数（即以10为底的对数）。如果你是一位数学专业人士，或者你有e手指，你就会经常使用自然对数。
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[4]基布兹是希伯来语“团体”的意思。——译者注
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 [:1701022624]
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 第9章 肠卜术与科学研究
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统计学家科斯马·沙利兹（Cosma Shalizi）曾经给我讲过一个寓言故事：
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假设你是一位肠卜僧，也就是说，你的工作是杀死绵羊，通过研究绵羊的内脏（尤其是肝脏）特征预测未来。当然，你不会因为自己在完成相关仪式时遵循了伊斯特里亚诸神的神谕，就认为自己的预测十分可靠。你还需要找到相关证据，于是，你和你的同事将预测结果提交给《国际肠卜术杂志》（International Journal of Haruspicy），请同行评议，该杂志要求所有预测结果都必须通过显著性检验才能发表。
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肠卜僧做预测，尤其是严格基于证据的预测，并不是一件简简单单的差事。一方面，你经常会全身沾满污血；另一方面，你的很多次预测都不会成功。你尝试通过研究绵羊的内脏来预测苹果公司的股价，结果失败了；你试图为民主党在西班牙裔美国人当中的投票支持率构建预测模型，结果没有成功；你预测全球石油的供应情况，也失败了。吹毛求疵的诸神，有时并不明示哪种内脏结构以及哪些咒语可以准确地预测未来。有时候，多位肠卜僧所做的实验是一模一样的，但是A成功了，B却失败了。这样的情况令人沮丧，有时候你甚至想放弃做肠卜僧，转而去读法学院。
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但有时候一切又非常顺利，你发现绵羊肝脏的纹路与凸起部位真的可以预测第二年流感爆发的严重程度。这些发现让你觉得自己没有白白地遭遇那些挫折与失败，于是，你默默地感谢神灵，然后把预测结果发表到杂志上。
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你可能会发现，每进行大约20次实验，就会有一次预测是正确的。