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但问题在于，归为不可能法与亚里士多德提出的反证法有一个不同点：从总体上看，归为不可能法不合乎逻辑。在应用该方法时，我们有时会得到荒谬的结论。长期担任梅奥医学中心统计部门领导的约瑟夫·柏克森（Joseph Berkson）认为某个方法不可靠时，就会大声质疑它（并四处宣扬他的疑虑）。他曾经举了一个非常著名的例子，用它来证明归为不可能法有缺陷。假定有50个实验对象，他们都是人（H），你发现其中一个是白化病人（O）。由于白化病人极为稀少，两万人中患有此病的人通常不超过1个。因此，如果H是正确的，那么在这50名实验对象中发现一名白化病人的概率非常小，不足1/400[2]，即0.002 5。所以，在H的条件下观察到O的概率（p值）远小于0.05。
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因此，根据统计学理论，我们非常确定H是不正确的，也就是说实验对象不全是人。
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人们经常会把“可能性极小”理解成“基本不可能”，而且，“基本”一词的影响力会越来越小，并最终淡出人们的考虑范围。但是，“不可能”与“可能性极小”是不同的概念，两者的意思相去甚远。不可能的事情绝不会发生，而可能性极小的事件并不少见。这就意味着我们在根据可能性极小的观察结果进行推理时，由于受到归为不可能法的影响，会采取一种不可靠的逻辑立场。因此，北卡罗来纳的彩票游戏在一周之内出现同一组号码（4、21、23、34、39）两次中奖的情况时，引起一片质疑之声，很多人怀疑其中有猫腻。其实，每组号码出现的概率都是一样的。星期二的中奖号码为4、21、23、34、39，星期四为16、17、18、22、39，这与同一组号码两次中奖一样，是可能性极小的事件，概率都为三千亿分之一。事实上，对于星期二与星期四这两天的中奖号码而言，出现任意一种结果的概率都是三千亿分之一。如果我们坚持认为可能性极小的结果足以说明彩票的公平性值得怀疑，那么，我们一辈子都会不停地给彩票委员会发邮件，因为无论中奖号码是什么，我们都会质疑它们。千万别干这样的傻事。
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关于素数的猜想
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米歇尔洞察到，即使那些恒星都是随机分布的，我们用肉眼观察时，也有可能以为它们构成了一个个星团。这样的现象并不只是出现在天体研究中，在悬疑剧《数字追凶》（Numb3rs）中也起到了关键作用。在发生一连串可怕的袭击事件之后，警察用大头针在地图上标注出犯罪地点，但是这些地点没有形成任何组群关系。由此可见，罪犯不是彼此毫无关联的多名精神病人，而是一名狡猾的连环杀手，有意识地选择不同的地点实施犯罪。根据剧情安排，这部电视剧应该讲述警察破案的故事，但是其中对数学知识的应用也非常完美，没有任何错误。
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随机数据中的组群现象，为我们深入研究那些没有任何随机性的现实问题（例如素数的特性）提供了新思路。2013年，新罕布什尔州大学一位深受学生欢迎的数学讲师“汤姆”张益唐（Yitang Zhang），宣布他成功地证明了关于素数分布的“有界距离”猜想，令理论数学界震惊不已。张益唐在北京大学就读时成绩斐然，但在20世纪80年代赴美国攻读博士之后却未取得任何成果。自2001年以来，他没有发表过一篇论文，还一度在地铁站卖三明治，可以说与学术性数学研究彻底脱节了。后来，他的一位从北京来到美国的老同学找到他，帮他在新罕布什尔州大学获得了一个非终身讲师的职位。从这些境遇来看，张益唐已经江郎才尽了。因此，在他成功证明了一个令若干数论大腕铩羽而归的定理，并将结果以论文形式发表出来的时候，人们都颇感意外。
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但是，人们并没有因为该猜想是正确的这个事实而感到吃惊。数学家在人们眼中都是不苟言笑的死理性派，在有定论之前不会相信任何事实。其实，这样的认识是不准确的。早在张益唐完成他的研究之前，我们就认为有界距离的猜想是正确的，我们也都相信孪生素数猜想，尽管这个猜想还有待证明。这是为什么呢？
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我们先从这两个猜想的内容说起。素数都是大于1的数，但不能是小于自身且大于1的两个数字的乘积。因此，7是素数，但9不是素数，因为9可以被3整除。排在前几位的素数为2、3、5、7、11与13。
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所有的正数在用素数的乘积表示时只有一种表示方法。例如，60包含两个2、一个3和一个5，因为60=2×2×3×5。（正是出于这个原因，我们认为1不是素数，尽管之前有数学家认为1是素数。如果把1视为素数，60可以表示成2×2×3×5、1×2×2×3×5与1×1×2×2×3×5等形式，就会破坏唯一性。）那么素数自身是什么情况呢？这个规则同样适用。例如，13这个素数就是一个单一素数（即13自身）的乘积。那么1呢？我们已经将1从素数中剔除，1又如何用素数的乘积表示呢？答案很简单：1是零个素数的乘积。
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有人会对此提出疑问：“用零个素数的乘积表示的数为什么是1而不是0呢？”下面这个解释有点儿复杂：我们先求出某些素数（例如2与3）的乘积，然后用所有作为乘数的素数来除这个乘积，得到的应该是零个素数的乘积。6被2×3除的结果是1，而不是0。（此外，零个数字的和的确是0。）
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素数是数论的“原子”，是构成所有数字且不可整除的基本存在。因为这个特点，从数论形成以来，人们一直在深入地研究素数。数论中最先得到证明的定理之一就是欧几里得定理。欧几里得定理告诉我们，无论我们把数轴延伸得多长，素数都是无穷多的。
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数学家们总在不断进取，他们绝不会止步于一个简单的无穷性论断，这是因为无穷性也各不相同。2的幂数有无穷多个，但是在数轴上表示出来时却显得非常稀少。在前1 000个数字中，2的幂数只有10个：1，2，4，8，16，32，64，128，256，512。
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偶数的个数也是无穷的，但它们在数轴上却极为常见：前1 000个数字中正好有500个偶数。很明显，在前N个数字中，大约有N/2个偶数。
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研究表明，素数的个数处于中游水平，比2的幂数更为常见，但是比偶数少。在前N个数字中，大约有N/logN个素数，这就是素数定理。19世纪末，数论学家雅克·阿达玛（Jacques Hadamard）与德·拉·瓦莱·普森（Charles-Jean de la Va l lée Pou s sin）完成了该定理的证明。
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我注意到几乎没有人了解“对数”这个概念，因此在这里稍加说明。正数N的对数记作logN，表示数字N的位数。
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等一等，真的如此吗？
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这个说法不完全对。我们把数字的位数称作“假对数”（fake logarithm，简称fl ogarithm），这非常接近于对数的真实含义，可以帮助我们了解对数在上述语境中的意思。假对数（也是对数）是一种增长很慢的函数：1 000的假对数是4，100万是1 000的1 000倍，其假对数是7，而10亿的假对数不过是10。[3]
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素数是不是随机数？
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素数定理指出，在前N个整数中，其中大约有1/logN的整数为素数。而且，随着数字变大，素数会越来越稀少，但是减少的速度很慢。与10位的随机数相比，20位的随机数是素数的概率要小一半。
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人们自然会猜想：某个类型的数字越常见，该类型数字的间距就越小。在看到一个偶数之后，再向前不超过两个数字就会看到下一个偶数。事实上，偶数之间的距离总是正好等于2。而2的幂数则有所不同，相邻两个2的幂数之间的距离呈指数级增长，在沿着该数列向前时，彼此间的距离只会越来越大，而绝不会变小。例如，在16之后，两个2的幂数之间的距离再也不会小于或等于15。
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这两种情况都易于理解，但是相邻素数之间的距离问题理解起来则难得多，即使在张益唐取得突破之后，仍有很多问题没有解决。
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不过，由于我们可以把素数看成随机数，这个视角对我们有显著的帮助，因此我们知道会得到什么样的结果。这个视角之所以有用，原因在于这是一个大错特错的视角。素数并不是随机数，素数的所有特点都不是我们可以随意判定的，也不是碰巧如此。但是，实际情况恰好相反：我们认为素数是宇宙的某个无法改变的特征，然后把它刻录成金唱片向星际空间播放，向外星人证明我们不是傻瓜。
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素数不是随机数，但从很多方面看它们似乎就是随机数。例如，我们用3除一个随机整数，余数是0、1或者2，而且三种情况出现的频次完全相同。如果用3除一个大的素数，不可能正好除尽，否则，这个所谓的素数如果可以被3整除，就说明它根本不是素数。但是，狄利克雷（Dirichlet）提出的一个古老定理认为，余数1与余数2出现的概率相同，这正好是随机数的一个特点。从“被3除的余数”这个角度看，素数很像随机数。
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那么，相邻素数之间的距离呢？我们也许会认为，随着数字变大，素数越来越稀少，它们彼此之间的距离也会越来越大。平均地看，情况的确如此。但是，张益唐的证明表明，彼此间的距离不超过7 000万的素数对是无穷的。换言之，相邻素数之间的距离在7 000万以内的有无穷多例。这就是“有界距离”猜想。
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为什么是7 000万呢？因为这是张益唐能够证明的极限数字。事实上，他的论文发表之后，引发了一个研究热潮，世界各地的数学家都加入了“博学者计划”——一种狂热的在线数学基布兹（kibbutz）[4]，协同合作，希望在张益唐的研究基础之上，进一步缩小这个有界距离。2013年7月，一个合作团体证明，彼此间的距离不大于5 414的素数对有无穷多个。11月，刚刚在蒙特利尔大学拿到博士学位的詹姆斯·梅纳德（James Maynard）将这个距离缩小到了600。“博学者计划”迅速将梅纳德的敏锐发现与其他计划参与者的理解加以归纳。在大家看到本书时，这个距离肯定又缩小了。
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