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1701024634 黑色论:转轮偏向于黑色,小球停在黑色区域的次数占比为60%。
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1701024636 这三种理论的置信度分别是多少呢?除非另有证据,否则我们很可能会认为轮盘赌是公平的。我们或许会认为公平论正确的概率为90%,黑色论与红色论正确的概率分别只有5%。像分析脸谱网黑名单一样,我们也可以为轮盘赌绘制方框图。
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1701024641 图中的数字用术语来表示的话,是“先验概率”(priori probability),即认为某个理论正确的概率。不同的人有可能得出不同的先验概率:怀疑论中坚分子认为三个理论的先验概率都是1/3,而有些人充分信任轮盘赌转轮制造商的节操,认为红色论与黑色论的先验概率只有1%。
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1701024643 但是,这些先验概率不是一成不变的。如果我们找到了某理论优于另一理论的证据(例如,小球连续5次停在红色区域中),不同理论的置信度就会发生改变。那么,这个规律在本例中会起到什么作用呢?解决这个问题的最佳办法就是计算更多的条件概率,绘制更大的方框图。
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1701024645 我们转动转轮5次,得到RRRRR的概率是多少呢?答案取决于哪种理论是正确的。在公平论正确时,每次转动转轮后小球停在红色区域的概率为1/2,因此,得到RRRRR这个结果的概率为:
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1701024647 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2=1/32=3.125%
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1701024649 换言之,得到RRRRR与得到其他31种颜色序列的概率完全相同。
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1701024651 如果黑色论是正确的,小球停在红色区域的概率为40%,即0.4,那么,得到RRRRR结果的概率为:
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1701024653 0.4×0.4×0.4×0.4×0.4=1.024%
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1701024655 如果红色论是正确的,小球停在红色区域的概率为60%,那么,得到RRRRR结果的概率为:
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1701024657 0.6×0.6×0.6×0.6×0.6= 7.76%
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1701024659 接下来,我们把图中的三个部分扩充为6个部分。
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1701024664 这幅图中的三列分别对应黑色论、公平论与红色论。但是,我们这次把每列分成了两个方框,一个方框表示得到了RRRRR的结果,另一个方框表示没有得到RRRRR的结果。我们已经完成了各种数学计算,知道应该在方框中填入哪些数字。例如,公平论的先验概率为0.9,这个先验概率的3.125%,即0.9×0.031 25(0.028 1),应该填入“公平论正确且小球5次停留的区域为RRRRR”的方框中,剩下的0.871 9则填入“公平论正确但停留区域不是RRRRR”的方框中。在表示公平论的这一列中,两个方框内数字的和仍然是0.9。
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1701024666 红色论的先验概率是0.05,因此,“红色论正确且结果为RRRRR”的先验概率是0.05×7.76%,即0.003 9;而“红色论正确但结果不是RRRRR”的方框中的数字是0.046 1。
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1701024668 黑色论的先验概率也是0.05。但是,黑色论与RRRRR这个结果之间的关系很不友好,因此,“黑色论正确且结果为RRRRR”的概率仅为0.05×1.024%,即0.000 5。
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1701024673 请注意,6个方框中的数字总和是1。这是必须满足的条件,因为这6个方框代表的是所有可能的情况。
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1701024675 如果我们转动转轮并且真的得到了RRRRR的结果,那么这些理论会有什么变化呢?假如这种情况真的出现了,对红色论而言就是好消息,但对黑色论而言则是坏消息。小球连续5次停在红色区域,这种情况位于方框图的下排,黑色论、公平论与红色论的先验概率分别为0.000 5、0.028和0.003 9。换句话说,在这种情况下,公平论与红色论的先验概率比率大约是7∶1,红色论与黑色论的先验概率比率大约是8∶1。
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1701024677 如果希望把这些比率关系转化为概率,我们需要记住的就是三个概率的和必须是1。下排三个方框中的数字和约为0.032 5,在不改变比率关系的前提下,要使三个概率的和等于1,我们可以用每个数字除以0.032 5。于是,我们得到:
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1701024679 ·黑色论正确的概率是1.5%;
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1701024681 ·公平论正确的概率是86.5%;
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1701024683 ·红色论正确的概率是12%。
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