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但是，如果再多买一张彩票，就肯定会亏钱（至于是亏了1美元还是6 000 001美元，取决于你之前是否已经买到了大奖号码）。
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在这里我们难以重现亚当·斯密的推理过程，但是我们可以猜想，他很可能是“所有线都是直线”这个谬论的受害者，因此他才会认为购买所有彩票肯定会亏钱，而且买的彩票越多，亏钱的可能性越大。
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购买600万张彩票的做法可以将亏钱的概率降至最低，但这并不代表它就是正确的玩法，因为我们最关注的是亏多少钱。如果玩家只买一张彩票，他几乎肯定会亏钱，但他知道自己不会亏很多钱。如果购买600万张彩票，尽管亏钱的概率有所下降，但会把玩家置于一个更危险的境地。当然，大家可能会认为这两种做法都不明智。亚当·斯密指出，如果彩票肯定会帮政府赚钱，与政府对赌就是不明智的行为。
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亚当·斯密反对彩票的理由中缺失了“期望值”（expected value）这个因素。期望值可以用数学形式表述亚当·斯密试图表达的直觉认识，其作用原理是，假定我们拥有一个价值不确定的东西，例如一张彩票：
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该彩票兑奖10 000 000次，其中有9 999 999次的结果是毫无价值；
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该彩票兑奖10 000 000次，其中有1次的价值是600万美元。
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尽管不确定它的价值，但是我们可能仍然希望为它设定确定的价值。为什么呢？假如有个家伙愿意付1.20美元收购人们手中的彩票，那么，聪明的做法是接受这笔利润为0.20美元的交易，还是继续持有彩票呢？这取决于我设定的彩票价值是高于还是低于1.20美元。
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我们可以运用下述方法计算彩票价值的期望值：对于每一种可能的结果，将出现该结果的概率与该结果所对应的彩票价值相乘。在我们这个简化的例子中，只存在两种结果：要么亏钱，要么获利。因此，我们得到：
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9 999 999/10 000 000×0美元= 0美元
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1/10 000 000×6 000 000美元= 0.60美元
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然后，将两个结果相加：
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0美元+0.60美元= 0.60美元
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因此，彩票价值的期望值是0.60美元。如果有人上门以1.20美元的价格收购彩票，根据期望值，我们应该接受这笔交易。实际上，根据期望值，当初我们就不应该以1美元的价格购买彩票！
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期望值并不是我们所期望的价值
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期望值这个概念与显著性一样，是数学中又一个名称与含义不完全相符的概念。我们当然不会“期望”彩票的价值是0.60美元。恰恰相反，这张彩票要么价值1 000万美元，要么一文不值，没有其他可能性。
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举一个相似的例子。假定我认为某条狗赢得比赛的概率为10%，并且押了10美元的赌注。如果这条狗真的赢了，我就会得到100美元；如果这条狗输了，我就什么也得不到。那么，赌注的期望值就是：
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10%×100美元+90%×0美元=10美元
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我当然不会期望这样的结果出现。实际上，赢得10美元不是一种可能的结果，更不要说是我们所期望的结果了。“平均值”这个词可能更准确一些，因为赌注的期望值衡量的实际上是我在多条狗身上多次下这样的赌注时平均获取的价值。假设我下了1 000次10美元的赌注，我很可能有100次押中（大数定律再次起作用），每次赚取100美元，总共得到10 000美元。因此，我下的这1 000注，平均每注的收益是10美元。从长远看，损益会取得平衡。
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对于真实价值不确定的对象，例如赛狗时下的赌注，期望值可以帮助我们有效地计算其合理的价格。如果我以12美元的价格下注，长期赌下去，我很可能会赔钱；如果我以8美元的价格下注，那么我应该尽可能多地下注。现在，几乎没有人赌狗了，但无论是赛马、职工优先认购权、彩票还是人寿保险，它们的期望值机制都是相同的。
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如何为终身年金保险定价？
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17世纪中叶至17世纪末，期望值成了数学领域的一个焦点，而且这方面的研究非常成熟，连英国皇家天文学家埃德蒙·哈雷（Edmond Halley）等注重实践的科学家都在应用它。没错，埃德蒙·哈雷就是发现“哈雷彗星”的那个人，他还是第一个研究如何恰当地为保险定价的科学家。在威廉三世统治时期，这项研究具有非常重要的军事意义。当时，英国与欧洲大陆的战争进行得如火如荼，而战争需要资金的支持。1692年，英国议会提议通过“百万英镑法案”（Million ACT），通过向全国人民销售终身年金保险的方法筹集100万英镑，以满足战争所需。购买终身年金保险意味着放弃年付，改为向政府一次性缴清所有保费。这种做法与人寿保险正好相反，购买终身年金保险的人都在赌短期内自己不会死亡。当时，保险统计学还处于雏形阶段，这项举措在确定年金成本时没有考虑领取年金者的年龄。因此，对于一位老奶奶而言，她可能最多需要缴纳10年的保费，可是她购买终身年金保险花费的钱却与儿童相同。
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作为一名科学家，哈雷清楚地知道不考虑年龄因素的定价方案是非常愚蠢的。因此，他决定找出一个能够更合理地估算终身年金保险价值的方法。但是，问题在于人们的生老病死与彗星的运行一样没有严格的规律可循。不过，哈雷借助出生人口与死亡人口的统计数据，为领取年金者估算出不同的存活时间所对应的概率，从而得到年金的期望值：“很明显，由于购买者有死亡的可能，因此他支付的金额应该小于年金价值；而且年金价值应该逐年计算，各年度的年金价值的总和等于终身年金的价值。”
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换言之，老奶奶的预期存活时间较短，因此在购买终身年金保险时需支付的钱应该少于年龄比她小的人所支付的金额。
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这不是显而易见的事吗？
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说句题外话，每当我讲埃德蒙·哈雷与终身年金保险的这个故事时，总会有人打断我：“但是，向年轻人多收点儿钱，这不是显而易见的事吗？”
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