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期望值这个概念与显著性一样，是数学中又一个名称与含义不完全相符的概念。我们当然不会“期望”彩票的价值是0.60美元。恰恰相反，这张彩票要么价值1 000万美元，要么一文不值，没有其他可能性。
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举一个相似的例子。假定我认为某条狗赢得比赛的概率为10%，并且押了10美元的赌注。如果这条狗真的赢了，我就会得到100美元；如果这条狗输了，我就什么也得不到。那么，赌注的期望值就是：
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10%×100美元+90%×0美元=10美元
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我当然不会期望这样的结果出现。实际上，赢得10美元不是一种可能的结果，更不要说是我们所期望的结果了。“平均值”这个词可能更准确一些，因为赌注的期望值衡量的实际上是我在多条狗身上多次下这样的赌注时平均获取的价值。假设我下了1 000次10美元的赌注，我很可能有100次押中（大数定律再次起作用），每次赚取100美元，总共得到10 000美元。因此，我下的这1 000注，平均每注的收益是10美元。从长远看，损益会取得平衡。
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对于真实价值不确定的对象，例如赛狗时下的赌注，期望值可以帮助我们有效地计算其合理的价格。如果我以12美元的价格下注，长期赌下去，我很可能会赔钱；如果我以8美元的价格下注，那么我应该尽可能多地下注。现在，几乎没有人赌狗了，但无论是赛马、职工优先认购权、彩票还是人寿保险，它们的期望值机制都是相同的。
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如何为终身年金保险定价？
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17世纪中叶至17世纪末，期望值成了数学领域的一个焦点，而且这方面的研究非常成熟，连英国皇家天文学家埃德蒙·哈雷（Edmond Halley）等注重实践的科学家都在应用它。没错，埃德蒙·哈雷就是发现“哈雷彗星”的那个人，他还是第一个研究如何恰当地为保险定价的科学家。在威廉三世统治时期，这项研究具有非常重要的军事意义。当时，英国与欧洲大陆的战争进行得如火如荼，而战争需要资金的支持。1692年，英国议会提议通过“百万英镑法案”（Million ACT），通过向全国人民销售终身年金保险的方法筹集100万英镑，以满足战争所需。购买终身年金保险意味着放弃年付，改为向政府一次性缴清所有保费。这种做法与人寿保险正好相反，购买终身年金保险的人都在赌短期内自己不会死亡。当时，保险统计学还处于雏形阶段，这项举措在确定年金成本时没有考虑领取年金者的年龄。因此，对于一位老奶奶而言，她可能最多需要缴纳10年的保费，可是她购买终身年金保险花费的钱却与儿童相同。
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作为一名科学家，哈雷清楚地知道不考虑年龄因素的定价方案是非常愚蠢的。因此，他决定找出一个能够更合理地估算终身年金保险价值的方法。但是，问题在于人们的生老病死与彗星的运行一样没有严格的规律可循。不过，哈雷借助出生人口与死亡人口的统计数据，为领取年金者估算出不同的存活时间所对应的概率，从而得到年金的期望值：“很明显，由于购买者有死亡的可能，因此他支付的金额应该小于年金价值；而且年金价值应该逐年计算，各年度的年金价值的总和等于终身年金的价值。”
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换言之，老奶奶的预期存活时间较短，因此在购买终身年金保险时需支付的钱应该少于年龄比她小的人所支付的金额。
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这不是显而易见的事吗？
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说句题外话，每当我讲埃德蒙·哈雷与终身年金保险的这个故事时，总会有人打断我：“但是，向年轻人多收点儿钱，这不是显而易见的事吗？”
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事实并不是那么显而易见，或者说，作为现代人，我们已经了解了其中的道理，才会觉得这是显而易见的事。管理年金事宜的那些人没有提出这种意见，而且这样的事还会一再地发生，证明这件事并没有那么显而易见。数学中有很多现在看来显而易见的观点，例如，负数也可以进行加减运算，用成对数字可以表示平面中的点，不确定性事件的概率可以借助数学方法来表述等。它们其实根本不是那么显而易见，否则，历史上早就有人知道这些了。
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说到这里，我想起哈佛大学数学系曾经发生的一件事。故事的主人公是一位备受尊敬的俄罗斯籍老教授，在这里我们把他称作O教授。某一天，O教授正在讲解一道非常复杂的代数题，讲到一半时，坐在后排的一名学生举手提问：“O教授，刚才那一步我没有弄明白，那两个运算符为什么可以相互交换呢？”
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O教授眉毛一扬，回答道：“这是显而易见的。”
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但是，那名学生接着说：“很抱歉，O教授，我真的不明白。”
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于是，O教授走回到黑板前，添加了几行解释文字。“我们需要怎么做呢？大家看，这两个运算符都可以沿对角线方向移动，原因是……嗯，不是沿对角线方向移动，而是……等等……”O教授不说话了，一边盯着黑板，一边挠头。过了一会儿，他回到了他的办公室。10分钟过去了，就在学生们准备离开时，O教授回到教室并走到讲台上。
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他志得意满地说道：“是的，这是显而易见的。”
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别玩强力球
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目前，强力球风靡美国，全美有42个州、哥伦比亚特区及美属维尔京群岛都可以玩这种彩票游戏。这种游戏十分受欢迎，有时单次开奖就可以卖出多达1亿张彩票。美国人民，无论有钱没钱，都会玩这个游戏。我父亲以前是美国统计协会的主席，也玩强力球，而且经常会帮我买一张，所以我也算玩家之一。
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那么，玩这种彩票游戏是否明智呢？
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2013年12月6日，就在我写到这一章的时候，累积奖金已经高达1亿美元了，而且赢取累积奖金不是赢钱的唯一途径。与很多彩票一样，强力球也设置了多个等级的奖金，正是那些容易中的小额奖金让人们觉得这种游戏值得一玩。
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下面我向大家介绍如何计算一张售价为2美元的彩票的期望值，如果你购买了一张彩票，你就有：
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1/175 000 000的概率赢取1亿美元的累积奖金；
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1/5 000 000的概率赢取100万美元奖金；
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1/650 000的概率赢取1万美元奖金；
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