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2005年7月12日，马萨诸塞州彩票中心监督办公室接到了剑桥市晨星超市一位员工打来的不同寻常的电话。剑桥市位于波士顿郊区，是哈佛大学与麻省理工学院的所在地。一名大学生走进超市，要求购买该州新发行的“Cash WinFall”彩票。大学生买彩票并不奇怪，但奇怪的是他的购买金额很大：这位大学生拿出了14 000张手工填写的选号纸条，购买总金额为28 000美元的彩票。
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彩票中心的工作人员回复那位超市员工：“没有问题。只要那些纸条填写正确，任何人想买多少张彩票都可以。”彩票中心有一个规定：除非得到彩票中心的授权，否则超市的日彩票销售金额不得超过5 000美元。但是，得到授权是很容易的事。
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那个星期，晨星超市并不是波士顿地区唯一一个销售势头强劲的彩票代理点，还有12家商场在7月14日开奖之前向彩票中心询问授权问题，其中有三家位于波士顿海湾南侧的昆西地区。为数不多的几位买家从多家商场买走了数以万计的“Cash WinFall”彩票，对于彩票中心来说，这是件好事。
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这到底是怎么一回事呢？答案并不神秘，从“Cash WinFall”彩票的游戏规则就能清楚地看出其中的奥秘。截至2004年秋季，由于在一年时间内都没有人中得“Mass Millions”借鉴彩票的累积奖金，因此彩票中心决定停止发行该彩票。玩家信心不足，导致彩票销售额非常低。马萨诸塞州急需振兴该州的彩票业，彩票中心的工作人员想到了一个主意，打算借鉴密歇根的“WinFall”彩票规则，于是“Cash WinFall”彩票应运而生。“Cash WinFall”彩票的游戏规则规定，如果一周之内没有人领走累积奖金，累积奖金不会越积越多；与之相反，只要奖池超过200万美元，奖金就会向下分配，增加容易赢取的奖项的金额，而累积奖金将被重置，在下一次开奖时降到50万美元的最低额度。采用这种新游戏规则之后，玩家即使没有中大奖，也有可能赢取大笔奖金。彩票中心希望借此提升该彩票的吸引力。
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事实上，新游戏规则的效果好得过头了。在2005年夏天之前，极有魄力的玩家就已经发现，由于马萨诸塞州在“Cash WinFall”彩票规则的设计上漫不经心，买“Cash WinFall”彩票真的是一笔不错的交易。
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在正常情况下，“Cash WinFall”彩票的奖项、中奖概率与奖金如下表所示：
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如果累积奖金为100万美元，那么售价2美元的彩票价值的期望值为：
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100万美元/930万+4 000美元/39 000+150美元/800
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+5美元/47+2美元/6.8=79.8美分
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这样的价值真的很低，与之相比，买强力球似乎是精明之举。（在上述计算中，我们已经非常大方了，将免费赠送的彩票的价值定为玩家本来需要支付的2美元，而不是这张彩票给玩家带来的小得多的期望值。）
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但当奖金向下分配时，回报率就会大不相同。2005年2月7日，因为没有人中大奖，累积奖金的金额已经接近300万美元。出现这样的情况并不令人奇怪，因为当天只有47万人参与了“Cash WinFall”彩票游戏，而中全部6个号码的概率大约为千万分之一。
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于是，所有的奖金全部向下分配，分配至“6中5”和“6中3”奖池的金额各为60万美元，此外还有140万美元进入了“6中4”的奖池。对“Cash WinFall”彩票游戏而言，6中4的概率约为1/800，因此在当天的47万名玩家中，应该有约600名玩家猜中4个号码。中奖玩家的人数确实很多，但140万美元也是金额不菲，分成600份，每个赢家可以得到2 000多美元。事实上，当天“6中4”的奖金应该是每注2 385美元左右，因此，其吸引力远远超过正常情况下150美元的单注奖金。如果有1/800的机会赢取2 385美元的收益，其价值的期望值就是：
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2 385美元/800=2.98美元
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换句话说，单凭“6中4”的奖金，就足以促使人们花2美元购买该彩票了。再加上其他奖金，收益将更加可观。
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因此，每张彩票的价值期望值是：
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50 000美元/39 000+2 385美元/800+60美元/47=5.53美元
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投入2美元产生3.5美元利润的投资，是不容错过的。
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当然，如果某个家伙幸运地中了大奖，那么，对于其他玩家来说，这种游戏又被剥去了华丽的外衣，变成呆头呆脑的大南瓜了。但是，购买“Cash WinFall”彩票的人一直很少，出现这种结果的可能性也很小。该游戏共有45次奖金向下分配的情况，其中只有1次有一位玩家中了全部6个号码，挡住了奖金持续不断向下分配的势头。
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需要澄清一点：上述计算并不表示2美元的彩票肯定能帮你赢钱。恰恰相反，在奖金向下分配时购买的“Cash WinFall”彩票，与其他时间购买的彩票一样，很有可能让你赔钱。期望值并不是你期望实现的价值，不过，在累积奖金向下分配时，各奖项的金额（如果你真的中奖，尽管这种可能性很小）会大大增加。期望值的魅力在于，它告诉人们买100张、1 000张或者10 000张彩票时，单注平均价值接近5.53美元。任何彩票都可能毫无价值，但是，如果你购买了1 000张，那么几乎可以肯定的是，你不仅能把买彩票的钱挣回来，还会有不错的收益。
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谁会一次性购买1 000张彩票呢？
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麻省理工学院的一群大学生。
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我之所以可以精确地告诉大家2005年2月7日的“Cash WinFall”彩票中奖数据，是因为2012年7月，马萨诸塞州检察官格雷戈里·沙利文（Gregory Sullivan）向州政府提交了一份关于“Cash WinFall”彩票事件的报告，其中详尽地记录了这些数据。坦白地说，沙利文的描述令人震惊，同时会让人不由自主地联想：是否有人拥有将该报告拍成电影的权利？我敢肯定，令人们产生这种想法的州政府财政监控报告在历史上仅此一份。
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