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如果玩家购买了350万张彩票，情况就完全不同了。此时，彩票中心会留下280万美元作为自己的收益，把剩余的420万美元作为奖金支付给玩家。再加上奖池中已有的200万美元，奖金总额达到620万美元，低于政府700万美元的收益。换言之，尽管向下分配的奖金十分丰厚，但只要购买彩票的人足够多，政府最终一定会赚钱。出现这种结果时，政府会非常高兴。
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收支平衡点是向下分配的40%的日收益与奖池中已有的200万美元（不了解其中原理或者过于热爱冒险的玩家，在非向下分配日参与这种游戏时所贡献的钱）正好相等，也就是彩票销售额为500万美元，销售量为250万张。当“Cash WinFall”的销售量超过这个数字时，就不宜参与。但是，只要销售量低于这个数字（“WinFall”彩票的销售量从未超出这个数字），玩家就可以赚钱。
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实际上，我们在这里应用的是一种非常有效而且是常识性的知识，叫作“期望值的相加性”（additivity of expected value）。假定我拥有麦当劳的特许经营权和一家咖啡店，麦当劳门店年均利润的期望值为10万美元，咖啡店年均利润的期望值是5万美元。当然，利润每年都会有起伏。期望值的意思是，从长远看，麦当劳门店平均每年可以赚大约10万美元，咖啡店的年均利润为5万美元。
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相加性表明，总体来讲，销售“巨无霸”汉堡与摩卡奇诺咖啡的年均总利润为15万美元，即两种生意的年均利润期望值之和。
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期望值的相加性：两个事物的期望值之和，即第一个事物的期望值加上第二个事物的期望值。
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就像我们用公式a×b=b×a来表示乘法交换律（比如，每排有X个小洞，一共有Y排，与每排有Y个小洞，一共有X列相比，小洞的总数相同），数学家也热衷于用公式表示上述过程。因此，如果X与Y是两个数字，我们不清楚它们的值分别是多少，且E（X）表示“X的期望值”，那么期望值的相加性就可以表示为：
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E（X+Y）=E（X）+E（Y）
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下面，我向大家介绍期望值相加性在彩票分析中的应用。每次开奖时，所有彩票的总价值是政府发放的奖金总额。因此，总价值不具有任何不确定性，在上面第一个例子中总价值就是向下分配的奖金总额，即380万美元。肯定到手的380万美元，它的期望值就是我们所期望的价值，即380万美元。
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在这个例子中，向下分配日当天有150万个玩家参与游戏。根据期望值的相加性，150万张彩票的期望值总和就是彩票总价值的期望值，即380万美元。但是，每张彩票价值相同（至少在我们知道中奖号码之前如此）。因此，我们把150万个相同的数字相加，和为380万美元，那么这个数字只能是2.53美元。也就是说，我们对这张售价2美元彩票的利润期望值是0.53美元。这个利润已经超过了赌注的25%，对于被大家视为骗钱的彩票游戏而言，这样的利润相当可观。
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相加性原理十分直观，因此我们很容易认为这是显而易见的事实。但是，它与终身年金保险的定价方法一样，其实并不是那么显而易见。为了说明这个问题，我们用其他概念来取代期望值，就会发现我们往往会得出乱七八糟的结果。例如：
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一连串事物的和的最可能的值就是各事物最可能的值的和。
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这就大错特错了。假定我在我的三个孩子中随机选择一个人继承财产，每个孩子最可能分得的财产为零，因为他有2/3的概率不会被我选中。但是，三个人得到的财产总额的最可能的值（其实，只有一个可能值）却是我的所有财产。
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布封的硬币、缝衣针与面条问题
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大学生与彩票的故事讲到这里，我们需要暂停一下，因为谈及期望值的相加性时，我必须向大家展示我知道的最能说明问题的证据，它的核心正是期望值的相加性。
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我首先要向大家介绍一种叫作“franc-carreau”（“franc-carreau”的大致意思是“正好落在正方形之中”。游戏中使用的硬币不是法郎，因为当时流通的货币不是法郎，而是埃居）的游戏。这个游戏与热那亚彩票一样，都会让我们想起无所不赌的古代。只要有一枚硬币和由方砖铺成的地板就可以玩“franc-carreau”游戏。人们把硬币扔到地上，然后押下赌注，猜硬币是完全落在一块砖上还是骑在砖缝上。
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布封（Georges-Louis LeClerc， Comte de Buffon）是勃艮第的一位地方贵族，学术造诣很高。他上的是法学院，可能是想像他的父亲一样当一名地方行政官，但是，在拿到学位之后，他立刻将法学抛到脑后，迷上了科学。1733年，那时他才27岁，但他已经是巴黎皇家科学院的成员了。
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布封后来成了一名著名的博物学家，完成了44卷的巨著《自然史》（Natural History）。他在这本书中提出了一个理论，希望能像牛顿解释运动与力的理论那样，以普适、不费力的方式解释生命的起源。年轻的时候，布封与瑞士数学家加布里埃尔·克莱姆（Gabriel Cramer）的一次短暂会面以及之后长期的书信往来，让他对理论数学产生了兴趣，并以数学家的身份进入巴黎皇家科学院。
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在提交给巴黎皇家科学院的论文中，布封将几何学与概率论巧妙地结合在一起，而此前人们一直认为这两个数学领域之间没有联系。但是，他研究的对象不是行星沿轨道运行的方式或者大国经济这些大问题，而是低俗的“franc-carrearu”游戏。在论文中，布封提出了一个问题：硬币完全落在一块砖上的概率是多少？砖的面积多大时，这个游戏对双方来说才是公平的？
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下面我向大家介绍布封的方法。如果硬币的半径是r，方砖的边长为L，那么，只要硬币的圆心落在一个边长为L–2r的小正方形的外面，硬币就会接触到砖缝。
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小正方形的面积是（L–2r）2，大正方形的面积是L2，因此，如果我们赌这枚硬币“完全落在大正方形之中”，那么我们获胜的概率就是（L–2r）2/L2。要使游戏公平，这一概率必须是1/2，即：
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（L–2r）2/L2=1/2
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布封解出了这个方程式（如果学过这方面的知识，我们也能解开这个方程式），他发现只有当砖的边长是硬币半径的倍，也就是接近7倍时，游戏才是公平的。将概率论与几何图形相结合，是一种新颖的想法，具有研究价值。但是，这样做的难度比较小，布封知道单凭这个发现是不可能进入巴黎皇家科学院的。于是，他继续深入研究：“但是，如果扔到空中的不是埃居这样的圆形物体，而是其他形状的物体，例如方形的西班牙皮斯托儿金币，或者一根缝衣针、一根短木棒等，解决这个问题时需要的几何知识就会多一些。”
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当然，这是一个保守的说法。缝衣针问题，是时至今日布封的名字仍然没有被数学界忘记的原因之一。下面，我把布封的话用更准确的语言重新解释一遍：
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