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布封的投针问题：假定地面是用细长木板条铺成的硬木地面，你手上正好有一根缝衣针，而且针的长度正好等于木板条的宽度。把缝衣针扔到地面上，它骑在木板条缝上的概率是多少？
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如果我们扔到地面上的是埃居，那么路易斯四世的脸是朝上还是朝下，对我们都没有任何影响。圆从任何角度看都是一样的，因此，硬币骑缝的概率并不取决于它的朝向。
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但是，布封使用的缝衣针却不同。如果缝衣针的方向与木板条缝的方向近乎平行关系，那么它骑缝的概率会非常低。
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如果缝衣针的方向与木板条缝的方向近乎垂直关系，我们几乎可以肯定缝衣针会骑在木板条缝上。
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“Franc-carreau”游戏具有高度的对称性，用术语来讲，这个游戏的结果始终处于轮换状态。但在投针问题中，这种对称性被破坏了，因此游戏的难度大幅度增加。我们不仅需要关注缝衣针中心点的位置，还要关注缝衣针的朝向。
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在两种极端的情况下，缝衣针骑在木板条缝上的概率是0（缝衣针的方向与木板条缝的方向为平行关系）或者1（缝衣针的方向与木板条缝的方向为垂直关系）。因此，我们有可能取中间值，认为缝衣针与木板条缝接触的概率正好是1/2。
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但是，这种想法是不对的。事实上，缝衣针与木板条缝相交的概率，远大于缝衣针完全位于某个木板条之内的概率。布封投针问题的答案是：缝衣针骑在木板条缝上的概率为2/π，约等于64%。这个答案出人意料，我们并没有看到圆，但答案里为什么会出现π呢？布封在计算时，使用了一种复杂的证明方法，需要计算一种由叫作“摆线”（cycloid）的线条所围成的面积。计算该面积时要用到微积分知识，微积分对于现代数学专业二年级的学生而言并不难，但要完全掌握也不是件容易的事。
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不过，在布封进入巴黎皇家科学院100多年之后，约瑟夫–埃米尔·巴比埃（Joseph-Émile Barbier）发现了另外一种方法。这种方法无须使用严谨的微积分知识，它虽然也有一点儿复杂，但只需要运用算术与基础几何知识，其中最重要的就是对期望值相加性的应用！
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该方法的第一步是将布封投针问题用期望值理论重新加以表述：与缝衣针相交的木板条缝的条数期望值是多少？布封计算的这个数字代表的是缝衣针与木板条缝相交的概率p，因此，缝衣针与所有木板条缝都不相交的概率是1–p。但是，如果缝衣针与木板条缝相交，就只能与一条木板条缝相交。[2]因此，我们可以用计算期望值的常用方法，即让可能相交的木板条缝数与该数字对应的概率相乘，得数加总就可以得到相交木板条缝数的期望值。在本例中，概率只能为0（观察到该结果的概率为1–p）和1（观察到该结果的概率为p），因此，我们可以把（1–p）×0=0与p×1=p相加，得数为p。也就是说，相交木板条缝数的期望值是p，与布封通过计算得到的数值相同。到这一步，我们似乎还没有取得什么进展。如何计算出这个神秘的数值p呢？
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在面对数学难题一筹莫展时，我们通常有两种选择：第一，把问题简单化；第二，把问题复杂化。
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把问题简单化似乎是一个更好的选择。用一个相对简单的问题替代我们要解决的难题，然后寄希望于在解决简单问题的过程中获得灵感，为我们解决那道难题提供某种思路。数学家用平稳的原始数学机制为复杂的现实系统建立模型时，用的就是这种方法。有时，这种方法非常有效。在计算较重抛射体的运动轨迹时，如果我们忽略空气阻力，认为该物体在运动过程中只受到万有引力的作用，就可以取得很好的效果。但是，我们的简化措施有时过于简单，以致连问题的重要特征都被抹杀了。很早以前就有这样一个故事：一位物理学家接到一个优化奶品生产的任务，他满怀信心地说“假设有一头球形的奶牛……”
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循着让问题简单化的思路，我们有可能从更简单的“frand-carreau”游戏中找到灵感，帮助我们解决布封投针问题：“假设有一根圆形的缝衣针……”但是，硬币不具有缝衣针的那种特征，因此，我们并不清楚从硬币游戏中能找到哪些有用的信息。
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我们考虑另一种策略：把问题复杂化。巴比埃在当时也做出了同样的选择，虽然这种策略的前景看似并不乐观，但一旦发挥作用，就会产生难以想象的魔力。
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我们试着思考这样一个问题：如果缝衣针的长度等于两块木板条的宽度，那么与它相交的木板条缝数的期望值是多少？这个问题似乎更加复杂，因为可能出现的结果不是两个，而是三个：缝衣针有可能完全位于一块木板条上，有可能与一条木板条缝相交，也有可能与两条木板条缝相交。因此，在计算相交木板条缝数的期望值时，我们需要计算三个（而不是两个）独立事件的发生概率。
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但是，由于期望值具有相加性，因此这个更复杂的问题其实比我们想象的容易。我们在缝衣针的中心位置画一个点，把长缝衣针分成两段，并分别标记为“短缝衣针1”和“短缝衣针2”，如下图所示。
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此时，与长缝衣针相交的木板缝条数的期望值就是短缝衣针1的期望值与短缝衣针2的期望值的和。用代数语言来表示，如果X是与短缝衣针1相交的木板条缝数，Y是与短缝衣针2相交的木板条缝数，那么与长缝衣针相交的木板条缝数就是X+Y。每根短缝衣针的长度等于布封缝衣针的长度，因此，与每根短缝衣针相交的木板条缝数的期望值为p，也就是说，E（X）与E（Y）都等于p。与整根缝衣针相交的木板条缝数的期望值E（X+Y）等于E（X）+E（Y），即p+p，得数为2p。
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当缝衣针的长度是木板条宽度的3倍、4倍甚至100倍时，上述推理方法同样适用。如果缝衣针的长度为N（我们取木板条的宽度作为度量单位），那么与它相交的木板条缝数的期望值就是Np。
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无论缝衣针多长或者多短，这个结论同样适用。假定我扔出去的缝衣针的长度为1/2，即其长度等于木板条宽度的一半。由于长度为1的布封缝衣针可以分成两根长度为1/2的缝衣针，布封缝衣针的期望值为p，所以长度为1/2的缝衣针的期望值是1/2p。事实上，对于任意正实数N，无论大小，公式“与长度为N的缝衣针相交的木板条缝数的期望值是Np”都成立。
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到这一步，我们还有一个非常难的证明没有完成。当N的值取像2的平方根这样令人讨厌的无理数时，我们需要采用某些技术手段，证明上述结论仍然适用。请大家放心，巴比埃证明方法的精髓就是我在这里向大家介绍的这些。
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接下来我们要采用一个新的视角，即“折弯缝衣针”。
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