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该方法的第一步是将布封投针问题用期望值理论重新加以表述:与缝衣针相交的木板条缝的条数期望值是多少?布封计算的这个数字代表的是缝衣针与木板条缝相交的概率p,因此,缝衣针与所有木板条缝都不相交的概率是1–p。但是,如果缝衣针与木板条缝相交,就只能与一条木板条缝相交。[2]因此,我们可以用计算期望值的常用方法,即让可能相交的木板条缝数与该数字对应的概率相乘,得数加总就可以得到相交木板条缝数的期望值。在本例中,概率只能为0(观察到该结果的概率为1–p)和1(观察到该结果的概率为p),因此,我们可以把(1–p)×0=0与p×1=p相加,得数为p。也就是说,相交木板条缝数的期望值是p,与布封通过计算得到的数值相同。到这一步,我们似乎还没有取得什么进展。如何计算出这个神秘的数值p呢?
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在面对数学难题一筹莫展时,我们通常有两种选择:第一,把问题简单化;第二,把问题复杂化。
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把问题简单化似乎是一个更好的选择。用一个相对简单的问题替代我们要解决的难题,然后寄希望于在解决简单问题的过程中获得灵感,为我们解决那道难题提供某种思路。数学家用平稳的原始数学机制为复杂的现实系统建立模型时,用的就是这种方法。有时,这种方法非常有效。在计算较重抛射体的运动轨迹时,如果我们忽略空气阻力,认为该物体在运动过程中只受到万有引力的作用,就可以取得很好的效果。但是,我们的简化措施有时过于简单,以致连问题的重要特征都被抹杀了。很早以前就有这样一个故事:一位物理学家接到一个优化奶品生产的任务,他满怀信心地说“假设有一头球形的奶牛……”
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循着让问题简单化的思路,我们有可能从更简单的“frand-carreau”游戏中找到灵感,帮助我们解决布封投针问题:“假设有一根圆形的缝衣针……”但是,硬币不具有缝衣针的那种特征,因此,我们并不清楚从硬币游戏中能找到哪些有用的信息。
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我们考虑另一种策略:把问题复杂化。巴比埃在当时也做出了同样的选择,虽然这种策略的前景看似并不乐观,但一旦发挥作用,就会产生难以想象的魔力。
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我们试着思考这样一个问题:如果缝衣针的长度等于两块木板条的宽度,那么与它相交的木板条缝数的期望值是多少?这个问题似乎更加复杂,因为可能出现的结果不是两个,而是三个:缝衣针有可能完全位于一块木板条上,有可能与一条木板条缝相交,也有可能与两条木板条缝相交。因此,在计算相交木板条缝数的期望值时,我们需要计算三个(而不是两个)独立事件的发生概率。
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但是,由于期望值具有相加性,因此这个更复杂的问题其实比我们想象的容易。我们在缝衣针的中心位置画一个点,把长缝衣针分成两段,并分别标记为“短缝衣针1”和“短缝衣针2”,如下图所示。
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此时,与长缝衣针相交的木板缝条数的期望值就是短缝衣针1的期望值与短缝衣针2的期望值的和。用代数语言来表示,如果X是与短缝衣针1相交的木板条缝数,Y是与短缝衣针2相交的木板条缝数,那么与长缝衣针相交的木板条缝数就是X+Y。每根短缝衣针的长度等于布封缝衣针的长度,因此,与每根短缝衣针相交的木板条缝数的期望值为p,也就是说,E(X)与E(Y)都等于p。与整根缝衣针相交的木板条缝数的期望值E(X+Y)等于E(X)+E(Y),即p+p,得数为2p。
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当缝衣针的长度是木板条宽度的3倍、4倍甚至100倍时,上述推理方法同样适用。如果缝衣针的长度为N(我们取木板条的宽度作为度量单位),那么与它相交的木板条缝数的期望值就是Np。
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无论缝衣针多长或者多短,这个结论同样适用。假定我扔出去的缝衣针的长度为1/2,即其长度等于木板条宽度的一半。由于长度为1的布封缝衣针可以分成两根长度为1/2的缝衣针,布封缝衣针的期望值为p,所以长度为1/2的缝衣针的期望值是1/2p。事实上,对于任意正实数N,无论大小,公式“与长度为N的缝衣针相交的木板条缝数的期望值是Np”都成立。
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到这一步,我们还有一个非常难的证明没有完成。当N的值取像2的平方根这样令人讨厌的无理数时,我们需要采用某些技术手段,证明上述结论仍然适用。请大家放心,巴比埃证明方法的精髓就是我在这里向大家介绍的这些。
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接下来我们要采用一个新的视角,即“折弯缝衣针”。
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上图中的缝衣针是我们到目前为止遇到的最长的针,长度为5。这根针被折弯了两次,首尾相连后构成了一个三角形。三角形的三条边长分别为1、2、2,可能相交的木板条缝数的期望值分别为p、2p、2p。根据期望值的相加性,整根针可能相交的木板条缝数的期望值是三条边的总和,即:
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p+2p+2p=5p
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换言之,对于折弯的缝衣针而言,“与长度为N的缝衣针相交的木板条缝数的期望值是Np”这一结论也成立。
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接下来,我们再讨论一下下图所示各种形状的缝衣针的情况。
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我们在前面见过这些图形。2 000年前,阿基米德与欧多克斯在提出穷竭法时,就使用了这些图形。最后一幅图看上去像一个直径为1的圆,但实际上它是由65 536根短缝衣针构成的多边形。我们的肉眼无法看出两者之间的不同,当然,地板也不会知道它们不是同一形状。因此可以说,与直径为1的圆相交的木板条缝数的期望值,约等于与65 536边形相交的木板条缝数的期望值。根据“折针”规则,这两个期望值都是Np,其中N是多边形的周长。那么,这个多边形的周长是多少呢?应该非常接近于圆的周长。圆的半径为1/2,它的周长是π,所以与圆相交的木板条缝数的期望值是πp。
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这种把问题复杂化的方法,大家认为怎么样?问题变得越来越复杂,越来越具有一般性,但是否有人认为我们还没有解决最基本的问题:p到底是多少?
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大家可能都没有想到,我们刚才已经算出p的值了。
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与圆相交的木板条缝数到底是多少?我们把缝衣针折成圆形之后,在由硬币变成缝衣针时丧失的对称性又被我们找回来了。如此一来,这个难题就变得简单多了。无论圆落在什么位置都没有关系,因为与它相交的木板条缝数一定是2。
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