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该方法的第一步是将布封投针问题用期望值理论重新加以表述：与缝衣针相交的木板条缝的条数期望值是多少？布封计算的这个数字代表的是缝衣针与木板条缝相交的概率p，因此，缝衣针与所有木板条缝都不相交的概率是1–p。但是，如果缝衣针与木板条缝相交，就只能与一条木板条缝相交。[2]因此，我们可以用计算期望值的常用方法，即让可能相交的木板条缝数与该数字对应的概率相乘，得数加总就可以得到相交木板条缝数的期望值。在本例中，概率只能为0（观察到该结果的概率为1–p）和1（观察到该结果的概率为p），因此，我们可以把（1–p）×0=0与p×1=p相加，得数为p。也就是说，相交木板条缝数的期望值是p，与布封通过计算得到的数值相同。到这一步，我们似乎还没有取得什么进展。如何计算出这个神秘的数值p呢？
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在面对数学难题一筹莫展时，我们通常有两种选择：第一，把问题简单化；第二，把问题复杂化。
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把问题简单化似乎是一个更好的选择。用一个相对简单的问题替代我们要解决的难题，然后寄希望于在解决简单问题的过程中获得灵感，为我们解决那道难题提供某种思路。数学家用平稳的原始数学机制为复杂的现实系统建立模型时，用的就是这种方法。有时，这种方法非常有效。在计算较重抛射体的运动轨迹时，如果我们忽略空气阻力，认为该物体在运动过程中只受到万有引力的作用，就可以取得很好的效果。但是，我们的简化措施有时过于简单，以致连问题的重要特征都被抹杀了。很早以前就有这样一个故事：一位物理学家接到一个优化奶品生产的任务，他满怀信心地说“假设有一头球形的奶牛……”
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循着让问题简单化的思路，我们有可能从更简单的“frand-carreau”游戏中找到灵感，帮助我们解决布封投针问题：“假设有一根圆形的缝衣针……”但是，硬币不具有缝衣针的那种特征，因此，我们并不清楚从硬币游戏中能找到哪些有用的信息。
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我们考虑另一种策略：把问题复杂化。巴比埃在当时也做出了同样的选择，虽然这种策略的前景看似并不乐观，但一旦发挥作用，就会产生难以想象的魔力。
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我们试着思考这样一个问题：如果缝衣针的长度等于两块木板条的宽度，那么与它相交的木板条缝数的期望值是多少？这个问题似乎更加复杂，因为可能出现的结果不是两个，而是三个：缝衣针有可能完全位于一块木板条上，有可能与一条木板条缝相交，也有可能与两条木板条缝相交。因此，在计算相交木板条缝数的期望值时，我们需要计算三个（而不是两个）独立事件的发生概率。
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但是，由于期望值具有相加性，因此这个更复杂的问题其实比我们想象的容易。我们在缝衣针的中心位置画一个点，把长缝衣针分成两段，并分别标记为“短缝衣针1”和“短缝衣针2”，如下图所示。
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此时，与长缝衣针相交的木板缝条数的期望值就是短缝衣针1的期望值与短缝衣针2的期望值的和。用代数语言来表示，如果X是与短缝衣针1相交的木板条缝数，Y是与短缝衣针2相交的木板条缝数，那么与长缝衣针相交的木板条缝数就是X+Y。每根短缝衣针的长度等于布封缝衣针的长度，因此，与每根短缝衣针相交的木板条缝数的期望值为p，也就是说，E（X）与E（Y）都等于p。与整根缝衣针相交的木板条缝数的期望值E（X+Y）等于E（X）+E（Y），即p+p，得数为2p。
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当缝衣针的长度是木板条宽度的3倍、4倍甚至100倍时，上述推理方法同样适用。如果缝衣针的长度为N（我们取木板条的宽度作为度量单位），那么与它相交的木板条缝数的期望值就是Np。
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无论缝衣针多长或者多短，这个结论同样适用。假定我扔出去的缝衣针的长度为1/2，即其长度等于木板条宽度的一半。由于长度为1的布封缝衣针可以分成两根长度为1/2的缝衣针，布封缝衣针的期望值为p，所以长度为1/2的缝衣针的期望值是1/2p。事实上，对于任意正实数N，无论大小，公式“与长度为N的缝衣针相交的木板条缝数的期望值是Np”都成立。
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到这一步，我们还有一个非常难的证明没有完成。当N的值取像2的平方根这样令人讨厌的无理数时，我们需要采用某些技术手段，证明上述结论仍然适用。请大家放心，巴比埃证明方法的精髓就是我在这里向大家介绍的这些。
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接下来我们要采用一个新的视角，即“折弯缝衣针”。
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上图中的缝衣针是我们到目前为止遇到的最长的针，长度为5。这根针被折弯了两次，首尾相连后构成了一个三角形。三角形的三条边长分别为1、2、2，可能相交的木板条缝数的期望值分别为p、2p、2p。根据期望值的相加性，整根针可能相交的木板条缝数的期望值是三条边的总和，即：
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p+2p+2p=5p
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换言之，对于折弯的缝衣针而言，“与长度为N的缝衣针相交的木板条缝数的期望值是Np”这一结论也成立。
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接下来，我们再讨论一下下图所示各种形状的缝衣针的情况。
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我们在前面见过这些图形。2 000年前，阿基米德与欧多克斯在提出穷竭法时，就使用了这些图形。最后一幅图看上去像一个直径为1的圆，但实际上它是由65 536根短缝衣针构成的多边形。我们的肉眼无法看出两者之间的不同，当然，地板也不会知道它们不是同一形状。因此可以说，与直径为1的圆相交的木板条缝数的期望值，约等于与65 536边形相交的木板条缝数的期望值。根据“折针”规则，这两个期望值都是Np，其中N是多边形的周长。那么，这个多边形的周长是多少呢？应该非常接近于圆的周长。圆的半径为1/2，它的周长是π，所以与圆相交的木板条缝数的期望值是πp。
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这种把问题复杂化的方法，大家认为怎么样？问题变得越来越复杂，越来越具有一般性，但是否有人认为我们还没有解决最基本的问题：p到底是多少？
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大家可能都没有想到，我们刚才已经算出p的值了。
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与圆相交的木板条缝数到底是多少？我们把缝衣针折成圆形之后，在由硬币变成缝衣针时丧失的对称性又被我们找回来了。如此一来，这个难题就变得简单多了。无论圆落在什么位置都没有关系，因为与它相交的木板条缝数一定是2。
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