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因此，相交木板条缝数的期望值就是2。我们知道该期望值还等于πp，于是，我们算出p=2/π，这跟布封的计算结果不谋而合。实际上，上述证明过程适用于所有缝衣针，无论它是多边形还是弯曲的，相交木板条缝数的期望值都是Lp，其中L是以木板条宽度为计量单位时缝衣针的长度。即使把一人份意大利面扔到地板上，想知道其中一根面条会骑在几条地板缝上，我也能准确地告诉你它的期望值是多少。这就是布封投针问题的一般形式，数学家们开玩笑说这是“布封的面条问题”。
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海洋与炸药
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巴比埃的证明让我想起代数几何学家皮埃尔·德利涅（Pierre Deligne）写给他的老师亚历山大·格罗腾迪克（Alexander Grothendieck）的信中的一句话：“似乎什么也没发生，但到最后，一个极不平凡的定理却出现在我们面前。”
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人们在挖隧道时使用的炸药杀伤力越来越强，在外行人的眼中，数学家就跟这些挖隧道的人一样：他们不断地使用越来越有效的工具，越来越深入地探究未知世界。借助有效的工具确实是一种好方法，不过格罗腾迪克的看法却不同。20世纪六七十年代，这位数学家重新阐释了理论数学的意义，他指出：“在我眼中，我们准备探究的未知事物就像泥土或者坚硬的泥灰岩，难以穿透……大海悄无声息，似乎没有发生任何变化，也没有任何物体改变位置，海水离我们是那么遥远，我们几乎听不见海浪的声音……但到最后，海水会清除一切阻碍。”
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未知事物就是海底的石头，阻碍我们前进的步伐。我们可以反复在岩缝中填上炸药并引爆，直到炸碎这块岩石。布封进行的复杂微积分计算，就与这种方法十分相似。或者，我们也可以采用一种深思熟虑的方法，逐渐加深我们的理解，到最后，就像岩石被平静的海水淹没一样，曾经让我们一筹莫展的难题在我们面前迎刃而解。
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当前，数学研究所采用的方法，就是坐禅式冥想与炸药爆破二者相互作用并取得微妙平衡的产物。
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数学家与精神病人
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1860年，21岁的巴比埃发表了他对布封定理的证明方法，那时他是巴黎高等师范学院的一名有前途的学生。1865年，因为精神问题，他离开了巴黎，没有留下联络方式。从那以后，没有一位数学家见过他。直到1880年，他的一位老师约瑟夫·波特兰（Joseph Bertrand）在一家精神病院里发现了巴比埃。格罗腾迪克于20世纪80年代离开学术界，目前在比利牛斯山脉过着塞林格式的隐居生活。没有人知道他现在正在研究什么数学问题，或者他是否还在做数学研究，有人说他以牧羊为生。
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关于数学，人们普遍持有一种错误的观念，觉得数学会令人发疯，或者数学本身就非常疯狂。前文中讲的那个故事正好佐证了这种想法。戴维·福斯特·华莱士（David Foster Wallace）是数学背景最深厚的现代小说家（他曾经中止小说创作，就无限集合论写了一本厚厚的书）。华莱士把这种错误的观念描述成“数学情节剧”，主人公是“普罗米修斯–伊卡洛斯式的人物，他最突出的天赋就是傲慢自大，这也是他致命的缺陷”。《美丽心灵》（A Beautiful Mind）、《证据》（Proof）与《圆周率》（π）等电影把数学视为困难与逃避现实的代名词。斯科特·特罗（Scott Turow）在畅销悬疑小说《推定无罪》（Presumed Innocent）中设置了一个峰回路转的情节：疯狂的凶手竟然是主角的妻子，她是一位数学家。（小说的悬疑情节来自女主角对一种扭曲性别观的追求，极其明显地暗示了凶手之所以如此疯狂，是因为她作为一名女性竟然无视困难去钻研数学。）最近，这个故事又摇身一变，在小说《夜色中狗的离奇逸事》（The curious Incident of the Dog in the Night-Time）中粉墨登场：数学天赋成了孤独症的一个致病因素。
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华莱士不认同这种对数学家心理状况的描述，我与他的观点一致。在现实世界中，数学家是一群普普通通的人，过着平常的生活。他们的确会在困难重重的抽象世界里孤身奋战，但这样的状况并不是经常发生。数学家不会过度用脑而使自己崩溃，相反，数学研究往往会使他们的心理更加健康。我发现，在极端情绪出现时，数学问题往往具有最强的安抚作用，可以消除某些心理疾病。与冥想一样，数学也可以让我们直接接触宇宙，将我们置身于广袤的天地间。如果不让我钻研数学，我反倒有可能发疯。
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想办法促使累积奖金向下分配
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我们还是回到马萨诸塞州，接着谈彩票问题。
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参与“Cash WinFall”游戏的人越多，利润就会越少；每多一个人大量购买彩票，就会多一个人瓜分奖金。杰拉德·塞尔比告诉我，“随机策略”团队的卢玉然（音）有一次提出了一个建议。卢认为，在累积奖金向下分配时，“随机策略”团队与塞尔比团队应该轮流参与游戏，以确保每个团队都有一个更大的利润空间。塞尔比认为这个提议的意思是，“你是大户，我也是大户，但是我们无法阻止别的玩家分走我们的利润”，而通过合作，至少塞尔比团队和“随机策略”团队可以互相钳制。这个提议很有道理，塞尔比却拒绝接受。他觉得利用游戏中的巧合是一件心安理得的事，因为游戏规则对所有玩家一视同仁。但是，如果同其他玩家合谋，在他看来就是作弊，即使合谋的内容并不一定会破坏彩票游戏的规则。因此，这三个团队可以说是“三足鼎立”。由于大户们在每次开奖前都会购买120万~140万张彩票，因此塞尔比估计，在奖金向下分配日，彩票价值的期望值仅比彩票的价格高出15%。
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即便如此，利润仍然相当可观。不过，哈维及其合伙人对此并不满意。职业彩票玩家的生活与我们想象的不同，对哈维来说，管理“随机策略”团队是一份全职工作，但不是特别令他满意的工作。在向下分配日到来之前，他们必须手工填写几万张彩票。到了向下分配日，哈维还要组织多名成员，到愿意接受大量购买彩票的便利店，把所有彩票号码输入计算机。在中奖号码公布之后，他们还得花时间辛苦地分拣出中奖的彩票。那些没有中奖的废票也不能扔进垃圾箱，而要装进收纳箱保存起来，因为在彩票游戏中赢取大笔奖金之后，美国国税局经常会来查账，所以哈维必须保留这些废票来证明自己的博彩活动合法。（杰拉德·塞尔比保留了金额为1 800万美元的废票。）中奖彩票也需要履行相关手续，只要中奖，无论奖金多少，团队的每名成员都需要填写W-2G个税申报表。现在，大家还觉得这件事有意思吗？
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检察官格雷戈里·沙利文估计，在发行“Cash WinFall”彩票的整整7年时间里，“随机策略”团队的税前收益为350万美元。我不知道詹姆斯·哈维分到了多少钱，但我知道他买了一辆车——一辆1999年产的二手尼桑“新天籁”。
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在“Cash WinFall”彩票刚发行时，人们轻轻松松就可以赚取一倍的利润。尽管这样的美好时光一去不复返，但似乎不是遥不可及，哈维及其合伙人肯定希望美梦再续。不过，塞尔比团队和“张博士彩票俱乐部”在每个累积奖金向下分配日，都会购买几十万张彩票，在这种情况下，他们怎么可能得偿所愿？
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其他彩票大户会持续参与彩票活动，只有在累积奖金不足以触发奖金向下分配时他们才会偃旗息鼓。但是，在这些开奖日，哈维也会全程参与，他的理由很充分：没有向下分配的钱，博彩活动就没有吸引力。
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2010年8月13日星期五，彩票中心预计下周一开奖时的累积奖金为167.5万美元，远低于奖金向下分配的门槛。张博士与塞尔比的团队按兵不动，等待累积奖金超出向下分配的底线，但“随机策略”团队却采取了不同的行动。在之前几个月的时间里，他们悄悄地做好了准备，打算在累积奖金接近但没有达到200万美元时，一次多买几万张彩票。这一天终于到来了，团队全体成员分散到大波士顿地区各处，购买了大量彩票，总计为70万张。由于“随机策略”团队突然注入了这笔现金，到8月16日星期一时，累积奖金达到210万美元。因此，这一天变成了累积奖金向下分配日，也是彩民的发薪日。但是，除了麻省理工学院的这群大学生以外，没有人知道这一天就要来了。那次开奖时，哈维团队持有接近90%的彩票，他们甩掉了竞争对手，独自站在那座金山前面。“随机策略”团队赚了70万美元，他们的投资成本为140万美元，利润率达到了相当可观的50%。
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不过，这种办法只能用一次。在这件事发生之后，彩票中心设置了一个预警系统，如果发现某个团队试图凭借一己之力推动累积奖金超过向下分配的底线，就会及时通知彩票中心的高级主管。12月底，“随机策略”团队再次使用这个伎俩，但是彩票中心已经做好了充足的准备。12月24日上午，距离开奖还有三天时间，彩票中心的业务部主任就收到同事发来的电子邮件：“买‘Cash WinFall’的那帮家伙正在行动，试图推动累积奖金向下分配。”如果哈维寄希望于彩票中心的工作人员正在度假，那他完全失算了。圣诞节那天一早，彩票中心就修改了累积奖金的估计金额，宣布累积奖金即将向下分配。其他彩票团队还在为8月的那次挫败耿耿于怀，在得知这个消息之后，他们立刻取消了圣诞度假计划，购买了几十万张彩票，使彩票利润回归至正常水平。
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无论如何，这场游戏即将落下帷幕。随后不久，《波士顿环球报》（Boston Globe）的记者安德里亚·艾斯提斯（Andrea Estes）的一位朋友，在彩票中心公布的赢家“20–20名单”中注意到一个有趣的现象：中奖的密歇根人非常多，而且他们都是在“Cash WinFall”彩票游戏中中奖的。艾斯提斯有没有怀疑其中有玄机呢？2011年7月31日，《波士顿环球报》头版刊登了艾斯提斯与斯科特·艾伦（Scott Allen）撰写的新闻报道，为大家介绍了这三个博彩团队在“Cash WinFall”彩票游戏中的垄断行为。8月，彩票中心修改了该彩票的游戏规则，规定单个零售点的日彩票销售额不得超过5 000美元。该举措有效地切断了彩票团队大量购买彩票的渠道，但是，损失已经不可挽回。“Cash WinFall”游戏的目的是吸引普通玩家，但是，现在看来这个目的无法实现了。2012年1月23日，“Cash WinFall”完成了它的最后一次开奖（确切地说，是最后一次累积奖金向下分配后的开奖）。
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谁是最后的赢家？
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詹姆斯·哈维并不是第一个利用彩票的不合理设计牟利的人。在密歇根州政府吸取教训并于2005年叫停“Cash WinFall”游戏之前，杰拉德·塞尔比的团队已经从中赚了几百万美元。而且，类似行为早就存在。18世纪初，法国通过销售债券为政府提供资金，但是由于利率的吸引力不够，这些债券的销售并不理想。为了增加吸引力，政府在销售债券时搭售彩票。每张债券的持有人有权购买一张彩票，彩票的奖金为50万里弗（livre）[3]，足够中奖者舒舒服服地生活几十年。但是，由于财政部副部长米歇尔·勒佩尔蒂埃·福茨（Michel Le Peletier des Forts）在制订彩票计划时计算错误，导致彩票的奖金远远超过彩票销售所得。换句话说，与累积奖金向下分配日的“Cash WinFall”一样，彩票价值的期望值大于彩票售价，只要人们大量购买彩票，就肯定能大赚一笔。
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数学家、探险家查尔斯–马利·拉孔达明（Charles-Marie de La Condamine）发现了这个秘密。于是，他跟后来的哈维一样，召集了一帮人一起购买彩票，作家伏尔泰（Voltaire）也是其中一员。在他们制订合作计划时，伏尔泰虽然在数学方面没有什么作为，但在其他方面做出了贡献。当时，彩票玩家需要在彩票上写下一句箴言，以便在该彩票中大奖时流传开来。伏尔泰觉得这是自我表现的大好时机（这也符合他的性格特征），因此他在自己的彩票上写下了“众生平等”“福茨万岁”等口号。
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最终，政府发现了其中的秘密并且终止了这个计划，但是，拉孔达明与伏尔泰已经赚到了足以安享余生的钱。否则，你以为伏尔泰仅凭那些文字优美的随笔与短剧就能维持生计吗？当时与现在一样，靠写作是不可能发大财的。