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此时，与长缝衣针相交的木板缝条数的期望值就是短缝衣针1的期望值与短缝衣针2的期望值的和。用代数语言来表示，如果X是与短缝衣针1相交的木板条缝数，Y是与短缝衣针2相交的木板条缝数，那么与长缝衣针相交的木板条缝数就是X+Y。每根短缝衣针的长度等于布封缝衣针的长度，因此，与每根短缝衣针相交的木板条缝数的期望值为p，也就是说，E（X）与E（Y）都等于p。与整根缝衣针相交的木板条缝数的期望值E（X+Y）等于E（X）+E（Y），即p+p，得数为2p。
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当缝衣针的长度是木板条宽度的3倍、4倍甚至100倍时，上述推理方法同样适用。如果缝衣针的长度为N（我们取木板条的宽度作为度量单位），那么与它相交的木板条缝数的期望值就是Np。
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无论缝衣针多长或者多短，这个结论同样适用。假定我扔出去的缝衣针的长度为1/2，即其长度等于木板条宽度的一半。由于长度为1的布封缝衣针可以分成两根长度为1/2的缝衣针，布封缝衣针的期望值为p，所以长度为1/2的缝衣针的期望值是1/2p。事实上，对于任意正实数N，无论大小，公式“与长度为N的缝衣针相交的木板条缝数的期望值是Np”都成立。
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到这一步，我们还有一个非常难的证明没有完成。当N的值取像2的平方根这样令人讨厌的无理数时，我们需要采用某些技术手段，证明上述结论仍然适用。请大家放心，巴比埃证明方法的精髓就是我在这里向大家介绍的这些。
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接下来我们要采用一个新的视角，即“折弯缝衣针”。
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上图中的缝衣针是我们到目前为止遇到的最长的针，长度为5。这根针被折弯了两次，首尾相连后构成了一个三角形。三角形的三条边长分别为1、2、2，可能相交的木板条缝数的期望值分别为p、2p、2p。根据期望值的相加性，整根针可能相交的木板条缝数的期望值是三条边的总和，即：
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p+2p+2p=5p
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换言之，对于折弯的缝衣针而言，“与长度为N的缝衣针相交的木板条缝数的期望值是Np”这一结论也成立。
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接下来，我们再讨论一下下图所示各种形状的缝衣针的情况。
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我们在前面见过这些图形。2 000年前，阿基米德与欧多克斯在提出穷竭法时，就使用了这些图形。最后一幅图看上去像一个直径为1的圆，但实际上它是由65 536根短缝衣针构成的多边形。我们的肉眼无法看出两者之间的不同，当然，地板也不会知道它们不是同一形状。因此可以说，与直径为1的圆相交的木板条缝数的期望值，约等于与65 536边形相交的木板条缝数的期望值。根据“折针”规则，这两个期望值都是Np，其中N是多边形的周长。那么，这个多边形的周长是多少呢？应该非常接近于圆的周长。圆的半径为1/2，它的周长是π，所以与圆相交的木板条缝数的期望值是πp。
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这种把问题复杂化的方法，大家认为怎么样？问题变得越来越复杂，越来越具有一般性，但是否有人认为我们还没有解决最基本的问题：p到底是多少？
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大家可能都没有想到，我们刚才已经算出p的值了。
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与圆相交的木板条缝数到底是多少？我们把缝衣针折成圆形之后，在由硬币变成缝衣针时丧失的对称性又被我们找回来了。如此一来，这个难题就变得简单多了。无论圆落在什么位置都没有关系，因为与它相交的木板条缝数一定是2。
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因此，相交木板条缝数的期望值就是2。我们知道该期望值还等于πp，于是，我们算出p=2/π，这跟布封的计算结果不谋而合。实际上，上述证明过程适用于所有缝衣针，无论它是多边形还是弯曲的，相交木板条缝数的期望值都是Lp，其中L是以木板条宽度为计量单位时缝衣针的长度。即使把一人份意大利面扔到地板上，想知道其中一根面条会骑在几条地板缝上，我也能准确地告诉你它的期望值是多少。这就是布封投针问题的一般形式，数学家们开玩笑说这是“布封的面条问题”。
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海洋与炸药
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巴比埃的证明让我想起代数几何学家皮埃尔·德利涅（Pierre Deligne）写给他的老师亚历山大·格罗腾迪克（Alexander Grothendieck）的信中的一句话：“似乎什么也没发生，但到最后，一个极不平凡的定理却出现在我们面前。”
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人们在挖隧道时使用的炸药杀伤力越来越强，在外行人的眼中，数学家就跟这些挖隧道的人一样：他们不断地使用越来越有效的工具，越来越深入地探究未知世界。借助有效的工具确实是一种好方法，不过格罗腾迪克的看法却不同。20世纪六七十年代，这位数学家重新阐释了理论数学的意义，他指出：“在我眼中，我们准备探究的未知事物就像泥土或者坚硬的泥灰岩，难以穿透……大海悄无声息，似乎没有发生任何变化，也没有任何物体改变位置，海水离我们是那么遥远，我们几乎听不见海浪的声音……但到最后，海水会清除一切阻碍。”
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未知事物就是海底的石头，阻碍我们前进的步伐。我们可以反复在岩缝中填上炸药并引爆，直到炸碎这块岩石。布封进行的复杂微积分计算，就与这种方法十分相似。或者，我们也可以采用一种深思熟虑的方法，逐渐加深我们的理解，到最后，就像岩石被平静的海水淹没一样，曾经让我们一筹莫展的难题在我们面前迎刃而解。
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当前，数学研究所采用的方法，就是坐禅式冥想与炸药爆破二者相互作用并取得微妙平衡的产物。
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数学家与精神病人
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