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虽然5%这个数值非常小，但却能带来无穷大的愉悦，因此，无论信仰上帝所需的有限成本多大，在无穷大的愉悦面前都不值一提。
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我们已经讨论过，为“上帝存在”这样的想法赋予概率数值是一种风险很大的做法，而且我们也不清楚这样的赋值是否有意义。不过，无论这个概率是5%还是其他数值，都不会有任何影响。无穷大的愉悦，其1%仍然是无穷大的愉悦，是信仰上帝的有限成本无法比拟的。概率为0.1%或者0.000 001%时，情况同样如此。更重要的是，上帝存在的概率不是零，这一点我们必须承认吧？如果果真如此，上述期望值的计算就是无可辩驳的，值得我们信任。信仰上帝的期望值不仅为正值，而且是一个无穷大的正值。
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但是，帕斯卡的论证存在严重缺陷，其中最大的问题应该是他没有考虑所有可能的假设，也就是我们在第10章讨论的“戴帽子的猫”的问题。帕斯卡的假设只有两个：第一，上帝是真实存在的，而且会奖赏那些信仰他的人；第二，上帝不存在。但是，如果有某位神一直在诅咒基督教徒呢？这样的神也是有可能存在的。单凭这个可能性，我们就可以驳斥帕斯卡的论断：如果信仰基督教，我们就有可能得到无穷大的愉悦，但是也有可能遭受无穷大的痛苦，而且我们没有任何公正合理的办法可以计算出出现这两种结果的相对概率。这样，我们就又回到了原点，推理已经无能为力了。
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伏尔泰提出了一个不同的反对理由。我们知道，伏尔泰对赌博并不反感，因此，我们以为他有可能会支持帕斯卡的赌注论。而且，伏尔泰崇尚数学，对牛顿的崇拜几乎达到了极致的程度（他曾经把牛顿称作“我愿意为之献出生命的神”），与数学家沙特莱侯爵夫人也有多年浪漫的感情纠葛。但是，作为思想家，帕斯卡与伏尔泰分属不同类别，两人在性情与哲学观方面都存在巨大的差别。活泼开朗的伏尔泰无法容忍帕斯卡郁闷、内省与神秘的个性。伏尔泰为帕斯卡起了个“极端遁世者”的别名，还专门写了一篇很长的随笔，逐条批驳后者悲观厌世的《思想录》。他眼中的帕斯卡，就是一个与聪明人格格不入的书呆子形象。
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至于帕斯卡的赌注论，伏尔泰认为“有点儿不合适，也有点儿愚蠢，因为赌博关注的是金钱的得失，与严肃的信仰相互排斥”。更重要的是，伏尔泰认为：“出于利益考虑而相信某个事物，并不能证明该事物确实存在。”伏尔泰倾向于不严谨的设计论：看看周围的世界，它是多么神奇，因此，上帝是存在的。证毕！
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事实上，帕斯卡的赌注论非常新潮，而伏尔泰并没有抓住重点。与魏茨滕等圣经密码编码者、阿布斯诺特以及同时代支持智慧设计论的人不同，伏尔泰认为帕斯卡根本没有给出上帝存在的证据（帕斯卡的确没有给出这方面的证据），而是提出了一个上帝存在的理由，这个理由是从效用的角度给出的，与合理性无关。从某种意义上讲，伏尔泰认为我们在第9章讨论的内曼及皮尔逊等人的观点是可信的，同这两个人一样，伏尔泰也怀疑我们面前的证据未必能帮助我们准确地判断真伪。不过，我们只能接受这些证据，然后为下一步的行动做出决策。帕斯卡的目标不是让我们相信上帝存在，而是让我们相信信仰上帝会为我们带来好处，因此，我们最好加入基督教，虔诚地遵从教规、教义，经过潜移默化直至我们真的相信上帝存在。我觉得华莱士在《无尽的玩笑》（Infi nite Jest）中对帕斯卡推理的描述十分精彩，不知道大家能否在现代作品中找到更加精彩的描述？
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对于那些因为戒酒失败而感到绝望的人，人们会在他们清醒时鼓励他们，而鼓励的方式无外乎让他们求助于他们并不理解或者并不相信的一些口号，诸如“放轻松”“放下这个问题吧”“一天一天地努力”之类的空话。这些口号就属于“欲求成功，先假想成功”（这句话本身也是人们经常引用的口号）。在承诺仪式上，每个站起来发言的人首先会说自己喜欢喝酒，而且无论他是否真的喜欢，他都会这样说。然后他会说，今天他头脑清醒，对此他心存感激，能够跟大家一起出席承诺仪式，他感到十分高兴。虽然他可能根本没有感激之心，也可能根本不高兴，但他还是会这样说。人们鼓励我们说诸如此类的话，直到我们真的相信这些。如果我们问某个态度严肃、头脑清醒的人，我们什么时候才不需要在这些该死的集会上做这些傻事，他就会换上一张令人讨厌的笑脸，然后告诉我们，如果哪一天我们喜欢上这些该死的集会，我们就不用再做这些傻事了。
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圣彼得堡悖论与期望效用理论
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在就无法明确其经济价值的事物（例如被浪费的时间、不愉快的聚餐等）做出决策时，效用度是一个非常有效的计量工具。其实，在就那些经济价值十分明确的事物（例如美元）做出决策时，我们也需要讨论它们的效用度。
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概率论在其发展早期就发现了这个道理，同很多重要的观点一样，它也是以难题的形式进入人们的视野。1738年，丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）在论文“对一种风险测量新理论的阐述”（Exposition on a New Theory of the Measurement of Risk）中描述了一个著名的难题：“彼得正在抛硬币，他会反复做这个动作，直到落地时硬币的正面朝上。如果第一次抛投得到正面，他会给保罗一个达科特（ducat）[1]；第二次抛投得到正面，给两个达科特；第三次给4个；第四次给8个。也就是说，抛投的次数每增加一次，彼得给保罗的钱就会翻一番。”
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显然，这种游戏规则对保罗来说非常有吸引力，他应该愿意下赌注。但是，赌注该怎么定呢？根据我们的彩票研究，自然需要计算保罗从彼得处赢钱的期望值。第一次硬币落地时，正面朝上的概率是1/2，此时，保罗得到一个达科特。如果彼得第一次抛投的结果是反面朝上，第二次是正面朝上，这种情况发生的概率为1/4，此时保罗得到两个达科特。保罗要赢得4个达科特的话，彼得必须前两次抛投的结果都是反面朝上，而第三次抛投的结果是正面朝上，出现这种情况的概率是1/8。上述过程不断重复并累加，那么保罗赢钱的期望值为：
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1/2×1+1/4×2+1/8×4+1/16×8+1/32×16+……
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=1/2+1/2+1/2+1/2+……
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这是一个发散级数，其得数不是一个固定值。加项越多，和越大，而且会不断增加，直至突破有限量的界限。这个结果似乎表明，保罗应该极力争取参与该游戏的权利，无论付出多少达科特都心甘情愿。
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这看上去很傻，的确如此！不过，在数学推理告诉我们某个结论似乎很傻时，数学家们不会立刻弃之如敝屣，而是寻找数学推理或者直觉出错的地方。这个难题是丹尼尔·伯努利的堂兄尼古拉斯·伯努利在大约30年前提出来的，人们称之为“圣彼得堡悖论”（St. Petersburg paradox）。这个悖论难住了当时的多名概率学家，他们一直没有找到一个令人满意的答案。后来，丹尼尔·伯努利成功地解决了这个难题，他给出的答案非常有说服力，具有里程碑意义，它为经济学衡量不确定性的价值奠定了基础。伯努利指出，这个悖论的关键问题在于，认为一个达科特的效用就一定是一个达科特。有钱人手中的一个达科特，跟农民手中的一个达科特，两者的效用并不相同。这个道理是显而易见的，因为这两个人对他们手中金币的关心程度是不同的。而且，2 000个达科特的效用并不等于1 000个达科特的2倍，而是略少于后者的2倍。这是因为，如果某个人已经拥有了1 000个达科特，再给他1 000个达科特的话，这笔钱给他带来的效用，就比它给身无分文的人带来的效用小。达科特的数量加倍，不能理解为效用加倍。并不是所有的线都是直线，表现金钱与效用之间关系的那条线就不是直线。
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伯努利认为，效用的增长方式与对数相似，因此，第k次的奖金为2k个达科特，它的效用是k个效用度。别忘了，我们可以大致把对数理解为数字的位数。伯努利的理论认为，有钱人衡量他们手中那一堆美元的价值时，考虑的是“美元”前面那个数字的位数。也就是说，拥有10亿美元的人比拥有1亿美元的人富裕，拥有1亿美元的人比拥有1000万美元的人富裕，两种情况下的效用差是相当的。
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根据伯努利的理论，圣彼得堡悖论的期望效用应该为：
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1/2×1+1/4×2+1/8×3+1/16×4 +……
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于是，该悖论就迎刃而解了。这个算式的和不再是无限大，而且数值也不是很大。我们可以利用下述方法，完美地计算其准确得数。
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第一行算式1/2+1/4+1/8+……的值等于1，这就是我们在第2章讨论过的芝诺悖论算式。第二行算式与第一行相同，只不过每一项都要被2除，因此它的得数是第一行的一半，即1/2。同理，第三行算式中的每一项都是第二行的1/2，它的得数也必然是第二行的1/2，即1/4。以此类推，各行算式得数的和是1+1/2+1/4+1/8+……，它比芝诺悖论算式的值大1，即等于2。
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但是，如果我们不是按行求和，而是按列求和，结果会怎么样呢？我在数家中立体声音响面板上的小洞时，无论横着数还是竖着数，都不会改变结果。同样，和就是和，也不会改变。[2]在第一列中，只有1/2这一个数字；第二列有两个1/4，即1/4×2；第三列有三个1/8，即1/8×3，以此类推。按列求和构成的级数就是伯努利用来解决圣彼得堡悖论时使用的求和算式，得数与倒三角形中各行算式得数的和相同，也等于2。因此，保罗应该下的赌注，就是两个效用度在他的个人效用曲线上所对应的达科特的个数。
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对于效用曲线的形状，我们只知道它会随着钱的数量增加而向下弯曲，除此之外便一无所知。虽然当代经济学家与心理学家不断设计出越来越复杂的实验，但是，仍然无法准确地了解这条曲线的属性。（“现在，可以的话，请把头放在功能性核磁共振成像仪中，找一个舒适的位置。我马上让你看6张扑克牌，上面有6种方案，请按照吸引力由大到小的顺序排序。然后，不介意的话，请你保持这个姿势，我让我的博士后从你的口中取出唾液样本……好吗？”）