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埃尔斯伯格这位年轻的超级明星特别热衷于打破常规。在以全班第三名的成绩从哈佛大学毕业之后，他加入了海军陆战队，当了三年步兵，这一举动让他的学术界同行大吃一惊。1959年，埃尔斯伯格作为“哈佛年轻学者”，在波士顿公立图书馆做了一个外交政策战略方面的报告，探讨阿道夫·希特勒（Adolf Hitler）在地缘政治战术方面的效率问题，并提出了一个有名的论断：“他是一位值得我们研究的地缘政治战术大师，从他身上我们可以了解到借助暴力手段希望实现以及能够实现的目标。”（埃尔斯伯格一直强调，他并不推荐美国采用希特勒式的外交战略，而只想心平气和地研究这些战略的有效性。他的话也许是真的，但是我相信人们听后肯定会非常愤怒。）
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因此，埃尔斯伯格不满足于只接受主流观点。事实上，从写作本科毕业论文开始，他就一直在挑博弈论基础理论的错误。他在兰德公司设计的一个实验非常有名，现在人们称其为“埃尔斯伯格悖论”（Ellsberg’s Paradox）。
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假设一只瓮中装有90个小球，其中有30个红球，至于其他小球，我们只知道它们有的是黑色的，有的是黄色的。埃尔斯伯格规定了下列4种下注方式：
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红球：如果从瓮中拿出的小球是红色的，我们会得到100美元；否则，什么也得不到。
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黑球：如果从瓮中拿出的小球是黑色的，我们会得到100美元；否则，什么也得不到。
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非红球：如果从瓮中拿出的小球是黑色或者黄色的，我们会得到100美元，否则，什么也得不到。
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非黑球：如果从瓮中拿出的小球是红色或者黄色的，我们会得到100美元，否则，什么也得不到。
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在红球与黑球中，我们应该选择哪一种呢？非红球与非黑球相比，选择哪一种更有利呢？
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埃尔斯伯格让实验对象做出选择，询问他们倾向于哪一种下注方案。结果，他发现实验对象大多选择红球，而不是黑球。对于红球，我们知道会有1/3的概率得到100美元；而对于黑球，我们不知道它的期望值是多少。对于非红球与非黑球，埃尔斯伯格发现实验对象更倾向于选择非红球，因为有2/3的概率赢钱。
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现在，假设我们面临更复杂的选择：必须选择两个下注方案，而且不是任意选择，只能选择“红球与非红球”或者“黑球与非黑球”。既然我们觉得红球的胜算大于黑球，非红球的胜算大于非黑球，那么我们认为“红球与非红球”的选择优于“黑球与非黑球”，似乎是有道理的。
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但是，问题出现了。选择“红球与非红球”意味着我们肯定能得到100美元，选择“黑球与非黑球”也是如此！如果两者毫无区别，为什么我们会觉得一个优于另一个呢？
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对于支持期望效用理论的人而言，埃尔斯伯格的实验结果似乎非常奇怪。每种下注方案都肯定有一定数量的效用度，如果红球的效用大于黑球，非红球的效用大于非黑球，那么“红球与非红球”的效用肯定大于“黑球与非黑球”，但实际上两者是相等的。如果我们选择相信期望效用理论，那么我们必然会认为参与埃尔斯伯格实验的那些人在选择上出错了。他们要么不善于计算，要么因为注意力不集中而没有听清问题，要么是疯子。由于埃尔斯伯格询问的实验对象都是知名的经济学家与决策论研究人员，因此这个结果就演变成了现在摆在人们面前的这个难题。
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埃尔斯伯格认为，这个悖论的答案非常简单：期望效用理论是不正确的。后来，唐纳德·拉姆斯菲尔德说，有的未知信息是已知的，有的未知信息是未知的，应该用不同的方法去处理它们。红球属于“已知的未知信息”（known unknown），因为我们并不知道会拿到哪种颜色的球，但是当我们希望拿到这种颜色的球时，我们可以定量分析成功的概率。而黑球则不同，对于玩家来说它属于“未知的未知信息”（unknown unknown），因为我们不仅不确定可以拿到黑球，而且根本无法计算出拿到黑球的概率。在决策理论文献中，前者被称为“风险”（risk），后者则被称作“不确定性”（uncertainty）。风险可以进行定量分析，但是对于不确定性，埃尔斯伯格认为无法使用形式主义的数学分析方法，至少不可以使用兰德公司青睐的那种数学分析方法。
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效用理论具有令人难以置信的效用，它可以处理这两种未知信息。在很多情境中，例如彩票游戏，我们面对的疑团是各种风险，其发生概率非常明确；但是在更多情况下，展现在我们眼前的却是“未知的未知信息”，不过这类未知信息的作用并不是很大。我们可以看到，在数学方法特有的推动作用下，关于这类信息的研究正在向科学领域靠拢。伯努利与冯·诺依曼等数学家构建了形式主义，为探究这些到目前为止人们缺乏了解的领域指明方向。像埃尔斯伯格这样数学思维敏捷的科学家则刻苦钻研，以期了解其中的局限性，在可能的时候提出完善与改进的措施；如果无法改进，他们就会发出措辞严厉的警告。
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埃尔斯伯格的论文不像技术性很强的经济学论文，其文风生动活泼。在结尾段落，他评价了他的实验对象：“依据贝叶斯推理或者萨维奇公理做出的预测是错误的，根据这些预测做出的选择也是不正确的。他们蓄意违背公理，毫无歉意，而且他们似乎认为这是明智的行为。显然，他们错了，难道不是吗？”
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“冷战”时期，决策论与博弈论在华盛顿与兰德公司备受推崇。当时人们认为，既然原子弹在上一次世界大战中帮助我们取得了胜利，决策论与博弈论这两个科研工具也会帮助我们打赢下一次世界大战。这两个工具在应用方面可能的确存在某种局限性，尤其当无先例可循而无法估算概率（比如人类遭受核打击瞬间化为放射性灰尘的概率）时更是如此，这个特点至少在埃尔斯伯格看来会有点儿麻烦。是不是数学上的分歧导致埃尔斯伯格对军事机构心存疑虑呢？
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[1]达科特是古时在大部分欧洲国家流通的金币。——译者注
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[2]请注意，根据这种直觉推理求无穷级数的和是非常冒险的做法。在本例中，这个方法是可行的，但是在求更复杂的无穷级数的和时，尤其当各项有正有负时，常常会导致严重的错误。
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[3]1立方英寻≈6.118立方米。——编者注
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 第13章 祝你下一张彩票中大奖！
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效用这个概念有助于我们了解“Cash WinFall”彩票游戏的令人疑惑之处。杰拉德·塞尔比博彩团队购买大量彩票的方法是，利用电脑上的“快速选号器”（Quic Pic），随机选取彩票号码。而哈维的“随机策略”团队则是自己动手选号，这就意味着他们需要手工填写几十万张彩票，然后逐一输入便利店的计算机中。后者的工作量很大，而且极其枯燥乏味。
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中奖号码完全是随机产生的，因此每张彩票的中奖概率是相同的。总体来讲，塞尔比利用快速选号器选出的10万组彩票号码，与哈维及卢玉然自己手动选号产生的10万组号码，为各自团队赢得的奖金应该一样多。从效用的角度来看，“随机策略”团队的大量艰辛工作并没有得到额外的回报，这是为什么呢？
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我们考虑一个与其性质相同但更简单的例子。给你5万美元，或者让你各有50%的机会输掉10万美元和赢得20万美元，我们会选择哪一种方案呢？第二种方案的期望值为：
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