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对此我能说什么呢？数学可以帮助我们规避错误，但是仍然会有漏网之鱼。（对不起，本书一经售出，概不退款！）犯错误就像一种原罪，打从一出生我们就会犯错误，而且会不断犯错误，因此，我们必须时刻保持警惕。数学知识会增强我们分析某些问题的能力，但是，如果对我们的所有信念都充满信心，甚至在未知领域也盲目地自信，就会将自己置于十分危险的境地。
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请大家在阅读本书时多加小心，因为我也可能犯同样的错误。
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相关性与十维空间的探险之旅
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高尔顿提出的相关性概念对我们所处的世界具有不可估量的影响。它的影响力不仅触及统计学，而且涵盖科学活动的所有领域。关于“相关性”一词，我们首先应该了解的是“相关关系并不意味着因果关系”。即使一个现象不会导致另一个现象，根据高尔顿的理解，这两个现象之间也可能存在相关性。其实，这并不是什么新发现。人们早就知道兄弟姐妹更有可能有相同的身体特征，还知道并不是因为哥哥高所以妹妹也高。但是，这个现象背后仍然暗藏着某种因果关系：父母高，在遗传因素的作用下，两个孩子也高。在后高尔顿时代，我们可以大谈特谈两个变量之间的相关性，但是对于两者之间是否存在某种因果关系（无论是直接还是间接的因果关系）却不得而知。从这个意义上讲，高尔顿的相关性概念，与名气比他大的表哥（达尔文）的伟大发现之间有某种共通之处。达尔文指出，在讨论进化时即使不带有任何目的，也可能产生研究价值，而高尔顿的研究则证明，在针对相关性开展有意义的讨论时无须关注潜在的因果关系。
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高尔顿给出的相关性的原始定义存在某种局限性，仅适用于分布遵循钟形曲线定律的变量。但是，卡尔·皮尔逊很快就对他的这个概念进行了修正，使其适用于所有变量。
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皮尔逊的公式里有许多平方根与比例，如果我们对笛卡儿几何学的掌握没有达到驾轻就熟的程度，皮尔逊的公式就不可能对我们有所启发，因此，我在这里就不列出这个公式了，大家也无须查阅相关资料。不过，皮尔逊的公式有一个非常简单的几何描述方法。从笛卡儿开始，数学家就热衷于在现实世界的代数描述与几何描述之间来回切换。代数的优势在于形式严谨，易于输入电脑；而借助几何学，我们则可以凭直觉处理眼前的难题，当拥有绘图能力时，这个优势会更加明显。有很多数学知识我无法真正地理解，但是，一旦了解了它的几何含义之后，我就会豁然开朗。
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那么，在几何学中，相关性指的是什么呢？为方便理解，我们回过头，再次研究2011年1月和2012年1月10个加州城市1月份平均气温的表格。我们发现，2011年的气温与2012年的气温之间存在非常强的正相关性，根据皮尔逊的公式，该相关系数是0.989。
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在研究两个不同年份气温测量数据之间的关系时，我们可以把表中各数据项减去相同的量，这个操作不会影响结果。如果2011年的气温与2012年的气温之间存在相关性，那么它与“2012年的气温+5华氏度”之间也必然存在相关性。我们还可以换一种方法来考虑这个问题：如果我们把图中所有的点都向上移动5英寸，那么高尔顿的椭圆形不会改变，发生改变的只是它的位置。事实证明，如果把这些气温值加上或减去一个相同的量，将更有利于我们的分析研究。比如，在这个案例中，两列数值分别减去2011年与2012年的气温平均值，我们就会得到下表：
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在这张表中，数据为负值时表示该城市气温较低，如特拉基；数据为正值时表示气温较高，如圣迭戈。
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接下来的步骤非常关键。记录2011年1月气温情况的那一列有10个数字，因此这一列就是一串数字，它还是一个点。这是怎么回事呢？这得归功于笛卡儿。我们可以把两个数字的组合（x， y）看成平面上的一个点，x自原点向右，y自原点向上，并画出一个从原点指向点（x， y）的短箭头，这个箭头叫作“向量”（vector）。
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同样，三维空间中的点可以表示成三个数字的组合（x， y， z）。只要我们不因循守旧，敢于创新，就能有所突破。4个数字的组合可以看成是四维空间中的点，那么，表中表示加州各地气温情况的那10个数字，就是十维空间中的点。不过，更好的做法是把它看成一个十维向量。
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此时，大家有足够的理由提出疑问：我应该怎么考虑这个十维向量？它到底是什么样子？
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十维向量的样子如下图所示：
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这是高级几何学中隐藏的一个小秘密。拥有处理十维（甚至一百维、一百万维）几何体的能力似乎是一件非常美妙的事，但是，我们的脑海里只能产生二维最多三维几何体的形象，这是我们思维能力的极限。值得庆幸的是，这种有限的思维能力足以帮助我们处理一些问题。
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高维几何体似乎有些神秘，因为我们生活在一个三维世界里（加上时间维度就是四维，如果我们是弦论学家，就可能是二十六维。即便如此，我们也会认为宇宙在其中大多数维度上的延伸是有限的）。我们为什么要研究高维几何体呢？
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时下特别流行的数据研究给出了一个答案。大家还记得前面讨论的用400万像素照相机拍摄的那幅照片吧，那幅照片被描述成了400万个数字，每个数字对应一个像素。（这是在不考虑颜色的情况下得到的结果。）因此，该影像就是一个四百万维向量，或者说，是四百万维空间中的一个点。随时间变化的影像就可以表示成一个在四百万维空间中移动的点，在四百万维空间中留下一条线。也就是说，不知不觉中，我们已经在研究四百万维向量的微积分问题了，而且，我们还会发现这样的研究其乐无穷。
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接下来我们继续讨论气温问题。表中有两列数据，每列都是一个十维向量，如下图所示：
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这两个向量的方向大致相同，表明这两列数据实际上区别不大。我们已经知道，2011年最冷的城市在2012年也非常冷，气温高的城市情况亦大致如此。
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这就是用几何语言表述的皮尔逊公式，两个变量之间的相关性是由这两个向量之间的夹角决定的。如果用三角学来描述，相关性就是夹角的余弦。至于你是否记得余弦的含义，这并不重要，你只需知道0度角（即两个向量指向相同方向）的余弦为1，180度角（两个向量指向相反方向）的余弦为–1。如果两个向量的夹角为锐角（小于90度的角），那么它们之间存在正相关关系；如果两个向量的夹角大于90度，即为钝角，那么它们之间存在负相关关系。笼统地讲，当夹角为锐角时，两个向量“指向相同方向”；而当夹角为钝角时，两个向量会“指向相反方向”。