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如果夹角既不是锐角也不是钝角，而是直角，那么这两个变量之间不存在相关性。在几何学中，我们把夹角为直角的两个向量叫作“垂直”（perpendicular）或“正交”（orthogonal）向量。数学家以及那些对三角学情有独钟的人经常延伸“orthogonal”这个词的内涵，用它来表示某个东西与手头上的东西没有任何关系。例如，“你可能以为你深受欢迎的原因与你的数学技能有关，但是，根据我的经验，这两者之间没有任何‘交集’（orthogonal）”。慢慢地，为三角学痴迷者们所青睐的这种用法就变成了人们广泛使用的语言。我从美国高等法院近期发生的口头辩论中摘选了一段，帮助你们了解这个现象。
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弗雷德先生：我认为那个问题与我们在这里讨论的问题没有任何“交集”，因为我们州承认……
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首席法官罗伯茨：对不起。没有任何什么？
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弗雷德先生：交集。两者毫无关联，没有任何相关性。
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首席法官罗伯茨：哦。
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法官萨卡里亚：是哪个词啊？我喜欢这个词。
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弗雷德先生：交集。
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法官萨卡里亚：交集？
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弗雷德先生：对，对。
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法官萨卡里亚：哦。
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（哄堂大笑。）
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对于大家纷纷效仿使用“orthogonal”一词的行为，我是赞成的。数学术语变成日常用语已经不是新鲜事了。现在，“lowest common denominator”[3]这个表达的数学含义几乎消失了，而且这个演变过程是以指数级速度完成的。
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客气地说，将三角学应用于高维向量以量化相关性，并不是人们当初发明余弦函数的初衷。公元前2世纪，尼西亚天文学家希帕恰斯（Hipparchus）写出了第一个三角函数表，目的是计算日食的时间间距，他所使用的向量都是用来描述天体的，而且毫无例外都是三维的。但是，为达到某个目的而发明的数学工具，往往也可以在其他多个方面发挥作用。
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借助几何学来理解相关性这个概念，使统计数据中某些含糊不清的内容变得明晰起来。我们以富有的自由派精英分子为例，一段时间以来，这个略带贬义的词频频出现在政治专家的意见之中。戴维·布鲁克斯（David Brooks）在这个方面的见解可能最专注，也最翔实，他写了一本书介绍被他称作“波波族”的群体。[4]2001年，布鲁克斯在思考兼具城乡特色、经济富裕的马里兰州蒙哥马利县和经济水平居于中游的宾夕法尼亚州富兰克林县之间的差距时，发现根据经济水平进行政治分类的老方法已经严重滞后了。在这种旧的分类体系中，共和党支持的是钱袋子，而民主党支持的则是埋头工作的人。
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在去年的总统大选中，与硅谷、芝加哥北岸、康涅狄格州城郊等美国各地的其他高收入地区一样，蒙哥马利县支持的是民主党，共和党和民主党的选票分别占34%和63%；而富兰克林县则把大部分选票投给了共和党，两党得到的选票分别占67%和30%。
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首先，这里说的“各地”有点儿言过其实了。威斯康星州最富裕的县是沃基莎，小布什在这里击败了阿尔·戈尔（Al Gore），但是，在全州范围内戈尔以微弱的优势取得了胜利。
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其次，布鲁克斯说的是实情，我们在前面介绍的散点图中已经清楚地看到了这个现象。从当今美国大选来看，富裕的州更有可能把选票投给民主党。密西西比州和俄克拉何马州都是共和党的地盘，但是共和党根本不会奢望主导纽约州和加利福尼亚州。换言之，居住在富裕的州与把选票投给民主党，两者之间存在正相关性。
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但是，统计学家安德鲁·格尔曼（Andrew Gelman）认为，布鲁克斯描述的其实是一种新型的自由主义者，他们喝着拿铁，开着丰田普锐斯，住着有品位的大房子，印有“NPR”（美国国家公共电台）字样的大手提袋中装满了现金，而实际情况更加复杂。事实上，几十年以来，有钱人把选票投给民主党的可能性一直高于那些囊中羞涩的人，而且这种情况持续存在。格尔曼及其合作伙伴深入分析每个州的统计数据，结果发现了一个非常有意思的规律。在某些州，例如得克萨斯州和威斯康星州，富裕的县会把更多的选票投给共和党。但是在马里兰、加利福尼亚与纽约等州，富裕的县则更倾向于支持民主党，而众多政治专家正好就住在这些州。他们坐在家中放眼一看，在他们周围这片富足的土地上生活的都是有钱的自由主义者，便自然而然地认为全美各地都是这样。的确，他们有这样的想法是很自然的，但是，如果看一看总体数据，我们就会知道这是一个错误的想法。
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不过，这里似乎存在一个悖论。家境富裕与居住在富裕的州，这两者之间毫无疑问是存在正相关关系的，居住在富裕的州与把选票投给民主党也存在正相关关系，这是不是意味着家境富裕与把选票投给民主党之间肯定也存在正相关关系呢？用几何语言表述的话，就是：如果向量1与向量2的夹角为锐角，向量2与向量3的夹角也是锐角，那么向量1与向量3的夹角是不是也一定是锐角呢？
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并非如此，我们可以画图证明。
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某些关系（例如“大于”）是可以“传递”的。如果我比我儿子重，我儿子又比我女儿重，那么，我肯定比我女儿重。“与……居住在同一座城市”也具有可传递性。如果我和比尔住在同一座城市，比尔与鲍勃住在同一座城市，那么我和鲍勃一定也住在同一座城市。
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但是，相关性不具有可传递性，相关性与“血缘关系”比较类似。从血缘方面讲，我与我儿子有血缘关系，我儿子与我妻子有血缘关系，但是我和我妻子之间并没有血缘关系。事实上，如果把存在相关性的变量理解成“部分DNA相同”，就不会有多大问题。假设我经营的小型理财公司只有三位投资者——劳拉、萨拉和蒂姆。他们的股票头寸非常简单：劳拉的一半头寸是脸谱网的股票，一半是谷歌的股票；蒂姆的头寸是通用汽车的股票和本田的股票各占一半；萨拉的头寸中新经济和传统经济各占半壁江山，即一半是本田的股票，一半是脸谱网的股票。很明显，劳拉的收益肯定与萨拉的存在正相关关系，因为他们的投资组合有一半是相同的，萨拉的收益与蒂姆的收益也存在正相关关系；但是，我们没有理由认为蒂姆的收益与劳拉的收益一定存在正相关关系。他们的头寸就像一对夫妻，分别贡献一半“遗传基因”，形成了一种结合体，即萨拉的头寸。
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从某种意义上讲，相关性的不可传递性是显而易见的，但又不容易理解。以共同基金为例，如果知道蒂姆的收益有所上升，我们不会错误地认为可以据此推断劳拉的收益。但是，我们的直觉在其他领域的表现却没有这么好，例如，我们在考虑“优质胆固醇”时就是这样。“优质胆固醇”指的是血液中HDL（高密度脂蛋白）携带的胆固醇，几十年来，人们一直认为优质胆固醇含量与心血管问题发生率之间存在相关性，优质胆固醇含量越高，出现心血管问题的风险就越低。通俗地讲，如果你的优质胆固醇含量充足，那么你捂着胸口倒地而亡的可能性往往比较小。
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