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这条公理是不是有点儿古怪呢？与其余4条公理相比，它复杂得多，而且不是那么显而易见。不管怎么说，几百年以来，几何学家们都有这种感觉。人们认为欧几里得本人也不喜欢这条公理，因为他在证明《几何原本》的前28个命题时只使用了前4条公理。
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简洁性有所欠缺的公理就像角落里地板上的污点一样，从本质上讲不会造成麻烦，但却令人无法容忍，因此我们会花大量时间擦拭污点，想让地板变得光亮整洁。数学中的“抛光”工作就是要证明第五条公理，即所谓的“平行公设”是由其他公理推导得出的。如果确实如此，人们就可以把它从欧几里得公理中剔除出去，使欧几里得公理一尘不染、熠熠生辉。
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在经过两千年的擦拭之后，这个“污点”还在那里。
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1820年，匈牙利贵族法卡斯·波尔约（Farkas Bolyai）在多年探索该问题无果之后，送给他的儿子雅诺什·波尔约（Janos Bolyai）以下忠告：
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你千万不要走尝试证明平行公设这条路，我非常清楚走这条路的最终结果。这是一条不归之路，在我走上这条路后，我的人生丧失了所有光明与欢乐。我恳求你不要去研究平行问题……为了去除几何学中的瑕疵，还人类一门完美无缺的科学，我甘愿献出自己的生命。在我历尽艰辛之后，取得了远胜于同行的成果，但是我仍然没有得偿所愿……在发现没有人可以走完这段黑暗历程之后，我终于退缩了，没有得到任何安慰，内心充满了对自己、对整个人类的怜悯之情。你一定要吸取我的教训……
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不是所有人都会接受父亲的建议，数学家也不会轻言放弃。小波尔约持之以恒地研究平行问题，终于在1823年粗略回答了这个古老的问题。他在给父亲的信中说：
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我有了一些奇妙的发现，连我自己都震惊不已。如果忽视这些发现，将造成永远无法弥补的损失。亲爱的父亲，等你看到我的这些成果你就会明白，但现在我只能告诉你：我凭空创造了一个新奇的世界。
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在研究这个问题时，小波尔约另辟蹊径，不是试图通过其他公理来证明平行公设，而是充分发挥想象力，采取了逆向研究的方式。他想，如果平行公设是错误的，会产生什么结果呢，会不会得出自相矛盾的结论？随后，他发现这个问题的答案是否定的，因为有一门几何学与欧几里得几何学不同。在这门几何学中，前4个公理都是正确的，但平行公设却是错误的。因此，不可能用其他公理来证明平行公设，否则波尔约几何学就不可能存在。但问题是，波尔约几何学的确存在。
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有时候，数学成果会出现“撞车”现象。在数学界终于迎来某个突破时，这种突破竟然会在几个地方同时发生。为什么会出现这种情况，原因还不得而知。当小波尔约在奥匈帝国埋头构建非欧几里得几何学时，尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevskii）正在俄罗斯开展同样的工作，而老波尔约的老朋友高斯已经完成了很多类似的研究工作，只不过还没有发表。（在听说了小波尔约的论文之后，高斯有失风度地说：“如果我赞扬他的成果，那就是赞扬我自己。”）
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限于篇幅，这里无法详细介绍小波尔约、罗巴切夫斯基、高斯的所谓“双曲几何学”（hyperbolic geometry）。不过，几十年之后，伯恩哈特·黎曼（Bernhard Riemann）发现，简化版的非欧几里得几何学根本算不上是一个新奇的世界，它其实就是球面几何学。
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让我们重温一下欧几里得公理的前4条：
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·任意两点可以通过一条直线连接；
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·任意线段能延长为任意长度的直线；
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·给定任意线段L，都可以以其为半径画一个圆；
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·所有直角都相同。
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大家可能注意到了，其中包括的几何术语有点、直线、圆与直角。事实上，按照严格的逻辑，名称并不重要，即使我们把这些术语叫作“青蛙”“金橘”，根据这些公理进行的逻辑推理的结构也不会发生任何变化。法诺平面中的“直线”与我们在学校里学习的直线似乎并不相同，但却不会引起任何问题，关键是从几何规则来看它们具有直线的特点。从某种意义上讲，把所有的点叫作“青蛙”，把所有的直线叫作“金橘”，可能效果会更好，因为这样命名可以让我们摆脱“点”与“直线”的真实含义给我们造成先入为主的偏见。
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在黎曼的球面几何学中，“点”指球面上的对跖点，即同一直径的两个端点，“直线”是一个“大圆”，即球面上的圆，而“圆”还是圆，不过在球面几何学中圆的大小可以是任何尺寸。
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在这样定义之后，根据欧几里得公理的前4条，任意“点”（球面上的对跖点）可以通过一条“直线”（大圆）连接。此外，任意两条“直线”相交于一个“点”（尽管这不是欧几里得公理）。
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大家可能会对欧几里得公理的第二条产生怀疑：“线段”绝对不会比“直线”长，因为“直线”就是球面的圆周线，那么我们怎么能说“线段”可以无限延长呢？这个反对理由非常有道理，但是关键要看如何解读这条公理。根据黎曼的理解，该公理不是说直线的长度是无限的，而是指直线具有“无界性”（boundless），这两个概念之间有细微的区别。黎曼直线（圆）的长度是有限的，但是具有无界性，这些直线可以一直延伸下去，没有尽头。
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但是，欧几里得公理的第五条却有所不同。假设我们有“点”P和不经过P的“直线”L，那么，是否有且只有一条“直线”通过P且平行于L呢？答案是否定的，原因很简单：在球面几何学中，根本不存在所谓的“平行直线”，球面上任意两个大圆都会相交。
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我们简要证明一下这个结论。任意大圆C都会把球体表面分割成两个面积相等的部分，它们的面积为A。假设另一个大圆C’平行于C，由于C’与C不相交，C’必然完全位于C的某一侧，即位于面积为A的两个半球面中的一个之上。这就意味着C’分割的球体面积小于A，而这是不可能的，因为任意大圆分割的球体面积都正好等于A。
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因此，平行公设以一种极为悲壮的方式轰然倒地。（波尔约几何学的证明情况则正好相反。平行线的数目不仅不少，反而有很多，经过“点”P且平行于L的直线有无数条。可以想象，直观地展示这种几何体的难度很大。）
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任何两条直线都不平行的情况虽然很奇怪，但是我们对此并不陌生，因为我们在前文中已经见过了。它与我们在射影平面中见到的现象是一样的。布鲁内莱斯基等画家借助这个现象建立了透视理论，在透视理论中，每两条直线都会相交。这不是巧合，我们可以证明黎曼球面上由“点”与“直线”构成的几何体与射影平面中的几何体是相同的。