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在把点与直线理解成球面上的“点”与“直线”之后，欧几里得公理中的前4条是正确的，但是第五条却不正确。如果第五条公理是前4条公理的逻辑推理产生的，球面的存在就会导致自相矛盾的情况：第五条公理既是正确的（由于前4条公理是正确的），又是不正确的（根据我们对球面的了解）。如果欧几里得公理的第五条是正确的，根据屡试不爽的古老方法——归谬法，我们就会得出球面不存在的结论。但是，球面是肯定存在的，因此，第五条公理不可能借助前4条公理进行证明。证明完毕。
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看来，要把地板上的“污点”擦拭干净，真的需要费一番工夫。但是，证明这类问题的动机不仅仅是对美学的执着（无可否认，这的确是动机之一）。其原因还在于，一旦我们发现前4条公理适用于多种几何学体系，那么，欧几里得仅仅根据这4条公理证明是正确的所有定理，不仅在欧几里得几何学中是正确的，在其他几何学中也都是正确的。因此，这是数学中的一种放大器，完成一个证明过程，可以证明多个定理。
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而且，这些定理并不是只为了证明某一个问题而建立的抽象几何学体系。在后爱因斯坦时期，我们知道非欧几里得几何学不仅仅是一个游戏，无论我们喜欢与否，它反映的都是时空的本来面目。
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在数学领域，当我们找出了某个问题的解决方法之后，如果它确实有效，包含了某种新观念，那么我们通常会发现，这个方法可以应用于多种不同的情况，即便各种情况大相径庭，就像球面与平面远不是一回事一样。这种情况在数学界经常出现。目前，意大利的年轻数学家奥利维亚·卡拉麦罗（Olivia Caramello）引起了大家的注意。她认为，很多理论可以在不同的数学领域中发挥影响力，实际上这些理论之间的联系非常紧密，用术语表达的话就是，它们属于同一个“格罗腾迪克拓扑斯”（Grothendieck topos）。因此，在一个数学领域中得到证明的定理，无须再做证明，就可以在另一个看上去完全不同的数学领域中作为定理使用。现在，认为卡拉麦罗像小波尔约一样真的“创造了一个新奇的世界”还为时过早，但是她的研究的确与小波尔约一样，没有违背数学界长期遵循的传统。
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这个传统就叫作“形式主义”（formalism）。哈代在赞赏19世纪的数学家时，谈到的也是这个传统。对于诸如1–1+1–1+……的难题，这些数学家终于不再执着于寻找正确的答案，转而研究如何对它们进行定义的问题。因为这个改变，他们成功地避开了令之前的数学家们头疼不已的“不必要的困扰”。在这种纯理论研究面前，数学变成了一种符号与文字游戏。只要某个语句是根据公理有逻辑地推导得出的，就可以被视作定理。但是，公理和定理指什么、有什么含义，则需要我们定夺。“点”、“直线”或者“金橘”指什么？这些概念可能指具有公理所要求特性的任何事物，至于它们指什么，我们应该选择适合当前需要的含义。一种纯理论的形式主义几何学，从原则上讲，无须让我们看到甚至想象任何点或者直线，至于寻常人如何理解这些点与直线则是一个毫不相干的问题。
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哈代肯定认为孔多塞感受到的痛苦是一种最没有必要的困扰。他可能会建议孔多塞不要追究到底谁才是众望所归的人选，或者不要考虑民众到底希望哪一位候选人当选，而应该认真研究我们如何定义哪位候选人是民众的选择。对待民主问题的这种形式主义观点，在当今这个自由世界十分盛行。在遭到质疑的佛罗里达州2000年总统大选中，由于“蝶形选票”的设计容易误导选民，导致棕榈滩县有几千名选民本来要投阿尔·戈尔一票，结果却把票投给了改革党“传统保守派”候选人帕特·布坎南。如果戈尔得到了这些选票，他就有可能在佛罗里达州的选举中获胜，甚至当选总统。
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但是，戈尔与这些选票失之交臂，而且他没有对此提出异议。美国的选举制度就是一种形式主义的产物：它关注的是选票上的标记，而不是这种标记的含义，即选民的意图。孔多塞希望我们关注选民的意图，而我们（至少官方）却根本不考虑选民到底想要什么。孔多塞还希望我们关注支持拉尔夫·纳德的佛罗里达人，而我们推测（似乎理由非常充分）大多数佛罗里达人对戈尔的支持度超过小布什。因此，我们认为，根据孔多塞公理，胜利者将是戈尔，因为大多数人都觉得他比小布什强，而且有更多的人认为他比纳德强。但是，这些倾向与我们的选举制度无关，因为我们把在投票站收集的纸条上出现频次最高的标记视为民众的意愿。
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当然，选票统计数据本身也引起了争议。那些打孔不彻底的选票，即所谓的孔屑未完全脱落的选票，该如何计票呢？从海外军事基地邮寄的选票，有的无法确定是在投票日当天还是之前寄出的，又如何处理呢？为了尽可能准确地统计出真实的票数，佛罗里达州各县的计票工作需要重复进行多少次呢？
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人们对最后一个问题争论不休，直到美国最高法院做出判决。戈尔的团队曾经要求完成选举工作的各县重新计票，佛罗里达州高等法院也表示同意，但是美国最高法院对此予以否决，并把最终计票结果定为小布什以537票领先，判决小布什在该州的选举中取得了胜利。计票次数越多，结果应该越准确，但最高法院认为，这不是选举的最高目标。他们认为，只有一部分县重新计票，这对那些没有重新计票的县是不公正的。该州应该采取的做法不是尽可能准确地计票（统计真实的得票情况），而是遵守选举制度这种形式上的协议。用哈代的话说，这种协议会告诉我们应该判定哪位候选人为胜利者。
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从更具一般性的意义来看，法律上的形式主义自认为是对程序、法规的坚持，即使（或者说尤其）在这些程序、法规违背常识时，他们也不会放弃这种坚持。法官安东尼·萨卡里亚是法律形式主义最坚定的倡导者，他直言不讳地说：“形式主义万岁！只有形式主义才能决定一个政府实施的是法治，而不是人治。”
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在萨卡里亚看来，如果法官试图了解法律的意图（精神），他们肯定会受到偏见与欲望的误导。最好的做法就是坚持遵守宪法与法规的规定，把这些规定看成公理，然后通过逻辑推理等手段做出判决。
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在刑事诉讼问题上，萨卡里亚同样笃信形式主义。他认为，从本质上讲，只要符合审判程序，法庭做出的任何判决都是公正的。他对2009年特洛伊·戴维斯（Troy Davis）一案做出的判决就非常清楚地表明了他的这种立场。萨卡里亚认为，在已经宣判被告犯有谋杀罪之后，即使9名指证他的证人中有7人推翻了自己的证词，被告也无权要求新一轮的证据听证。
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美国最高法院一直认为，宪法绝不会禁止对经过完整、公正的审判并被判有罪，但之后成功地让人身保护法院相信他其实无罪的被告执行死刑。
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（萨卡里亚的原文对“绝不会”一词进行了加粗处理，同时为“其实”一词加上了醒目的引号。）
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萨卡里亚指出，对法院而言，重要的是陪审团的意见。如果陪审团认为戴维斯犯有谋杀罪，那么无论他是否杀了人，他的谋杀罪都会成立。
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与萨卡里亚不同，首席大法官约翰·罗伯茨（John Roberts）并不是一位形式主义的坚定倡导者，但他对萨卡里亚的观点总体上是持赞成态度的。2005年，他在正式就任首席大法官之前的参议院听证会上以棒球比赛做类比，描述了自己所从事的工作。
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法官应遵循法律的旨意，而不是凌驾于法律之上。法官就像棒球场上的裁判，不是规则的制定者，而是规则的执行者。裁判与法官的作用至关重要，要确保所有人都遵守规则。但是，这种作用是有限的。大家想看的是球赛，而不是裁判的表演。
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不管有意还是无意，罗伯茨的这个观点与“棒球裁判之父”比尔·克莱姆（Bill Klem）不谋而合。克莱姆在美国棒球联赛中担任裁判有将近40年的时间，他曾说过，“最优秀的裁判应该让球迷不记得球场上有裁判”。
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但是，裁判并不像罗伯茨与克莱姆认为的那样只能发挥有限的作用，原因在于棒球是一种形式主义的运动。大家看一下1996年美国棒球联赛决赛的第一场比赛就能明白这个道理，比赛双方是巴尔的摩金莺队与纽约扬基队，比赛地点是纽约的布朗克斯棒球场。金莺队在第八局快结束时领先扬基队，这时，扬基队的游击手德瑞克·基特打出了一记长距离腾空球，球飞向金莺队的中继投手阿曼德·班尼特兹（Armando Benitez）一侧的右外场。这一次击打非常漂亮，但是没有超出中场手托尼·塔拉斯科（Tong Tarasco）的范围，他在球的下方准备接球。突然，坐在露天看台前排的12岁的扬基队球迷杰弗雷·梅耶（Jeffrey Maier）从栅栏上探出身，将球拨进了看台。
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基特知道这个球不是本垒打，塔拉斯科、班尼特兹还有5.6万名扬基队球迷也知道这个球不是本垒打。在扬基队球馆中唯一没有看到梅耶探身拨球的人，也是唯一能决定这次击球分数的人，就是裁判里奇·加西亚（Rich Garcia）。加西亚判定这个球是本垒打，基特也没有纠正裁判的判定，他慢条斯理地上垒，比赛打成了平局。没有人认为他应该提出异议，这是因为棒球比赛是遵循形式主义的运动，裁判的判定就是最终结果，不可以有任何异议。克莱姆说过，职业裁判员最直言不讳的本体论立场宣言就是：“在我做出判定之前，不管发生了什么都不算数。”
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这种情况正在发生变化，但是幅度不大。2008年以来，如果判罚存在争议，球员和裁判可以要求观看录像回放。这种做法有利于裁判做出正确的判罚，但是，很多忠实的棒球迷却认为这有悖于体育精神。我赞同这种观点，我想约翰·罗伯茨也会跟我一样。
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并不是所有人都认同萨卡里亚的法律观（他在“戴维斯”一案中的观点是少数人观点）。我们在前面讨论“阿特金斯诉弗吉尼亚州”一案时就已经知道，宪法中“残酷和非常”等文字为我们的解读留下了很大的空间。如果说伟大的欧几里得公理也语焉不详，我们又怎么能指望开国先驱们不犯类似的错误呢？律师、芝加哥大学教授理查德·波斯纳（Richard Posner）等现实主义法学家认为，最高法院在判决时绝不会像萨卡里亚所说的那样顽固地遵循形式主义的规则。
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最高法院同意受理的大多数案件都非常难以定夺，根据传统的法律推理是无法做出判决的，因为这种推理非常依赖于宪法与法规的条文以及既往同类案件的判决。如果依靠这种从本质上讲属于语义分析的方法就能做出判决，这些案件在州高等法院或者联邦上诉法院就可以审理完成，不会引起争议，也不会被提交到最高法院了。
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根据波斯纳的观点，被提交到最高法院的那些案件是无法通过法律推理解决的。帕斯卡发现无法通过推理证明上帝是否存在，现在，法官们也面临同样的情况。然而，就像帕斯卡说的，我们不能选择放弃，同样，无论传统的法律推理方法是否奏效，法院都必须做出判决。有时，法院会采取帕斯卡的方法：如果无法通过推理判决，就力求取得最佳结果。波斯纳认为，“布什–戈尔选举”案就采取了这种司法程序，萨卡里亚也表示同意。波斯纳指出，他们做出的判决并没有在宪法或者判例中找到真正有效的依据。之所以做出这样的决定，是出于一种实用主义的考虑，即避免选举陷入长时间的混乱状态。
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形式主义被自相矛盾的阴影笼罩
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