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大家可能注意到了，其中包括的几何术语有点、直线、圆与直角。事实上，按照严格的逻辑，名称并不重要，即使我们把这些术语叫作“青蛙”“金橘”，根据这些公理进行的逻辑推理的结构也不会发生任何变化。法诺平面中的“直线”与我们在学校里学习的直线似乎并不相同，但却不会引起任何问题，关键是从几何规则来看它们具有直线的特点。从某种意义上讲，把所有的点叫作“青蛙”，把所有的直线叫作“金橘”，可能效果会更好，因为这样命名可以让我们摆脱“点”与“直线”的真实含义给我们造成先入为主的偏见。
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在黎曼的球面几何学中，“点”指球面上的对跖点，即同一直径的两个端点，“直线”是一个“大圆”，即球面上的圆，而“圆”还是圆，不过在球面几何学中圆的大小可以是任何尺寸。
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在这样定义之后，根据欧几里得公理的前4条，任意“点”（球面上的对跖点）可以通过一条“直线”（大圆）连接。此外，任意两条“直线”相交于一个“点”（尽管这不是欧几里得公理）。
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大家可能会对欧几里得公理的第二条产生怀疑：“线段”绝对不会比“直线”长，因为“直线”就是球面的圆周线，那么我们怎么能说“线段”可以无限延长呢？这个反对理由非常有道理，但是关键要看如何解读这条公理。根据黎曼的理解，该公理不是说直线的长度是无限的，而是指直线具有“无界性”（boundless），这两个概念之间有细微的区别。黎曼直线（圆）的长度是有限的，但是具有无界性，这些直线可以一直延伸下去，没有尽头。
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但是，欧几里得公理的第五条却有所不同。假设我们有“点”P和不经过P的“直线”L，那么，是否有且只有一条“直线”通过P且平行于L呢？答案是否定的，原因很简单：在球面几何学中，根本不存在所谓的“平行直线”，球面上任意两个大圆都会相交。
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我们简要证明一下这个结论。任意大圆C都会把球体表面分割成两个面积相等的部分，它们的面积为A。假设另一个大圆C’平行于C，由于C’与C不相交，C’必然完全位于C的某一侧，即位于面积为A的两个半球面中的一个之上。这就意味着C’分割的球体面积小于A，而这是不可能的，因为任意大圆分割的球体面积都正好等于A。
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因此，平行公设以一种极为悲壮的方式轰然倒地。（波尔约几何学的证明情况则正好相反。平行线的数目不仅不少，反而有很多，经过“点”P且平行于L的直线有无数条。可以想象，直观地展示这种几何体的难度很大。）
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任何两条直线都不平行的情况虽然很奇怪，但是我们对此并不陌生，因为我们在前文中已经见过了。它与我们在射影平面中见到的现象是一样的。布鲁内莱斯基等画家借助这个现象建立了透视理论，在透视理论中，每两条直线都会相交。这不是巧合，我们可以证明黎曼球面上由“点”与“直线”构成的几何体与射影平面中的几何体是相同的。
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在把点与直线理解成球面上的“点”与“直线”之后，欧几里得公理中的前4条是正确的，但是第五条却不正确。如果第五条公理是前4条公理的逻辑推理产生的，球面的存在就会导致自相矛盾的情况：第五条公理既是正确的（由于前4条公理是正确的），又是不正确的（根据我们对球面的了解）。如果欧几里得公理的第五条是正确的，根据屡试不爽的古老方法——归谬法，我们就会得出球面不存在的结论。但是，球面是肯定存在的，因此，第五条公理不可能借助前4条公理进行证明。证明完毕。
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看来，要把地板上的“污点”擦拭干净，真的需要费一番工夫。但是，证明这类问题的动机不仅仅是对美学的执着（无可否认，这的确是动机之一）。其原因还在于，一旦我们发现前4条公理适用于多种几何学体系，那么，欧几里得仅仅根据这4条公理证明是正确的所有定理，不仅在欧几里得几何学中是正确的，在其他几何学中也都是正确的。因此，这是数学中的一种放大器，完成一个证明过程，可以证明多个定理。
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而且，这些定理并不是只为了证明某一个问题而建立的抽象几何学体系。在后爱因斯坦时期，我们知道非欧几里得几何学不仅仅是一个游戏，无论我们喜欢与否，它反映的都是时空的本来面目。
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在数学领域，当我们找出了某个问题的解决方法之后，如果它确实有效，包含了某种新观念，那么我们通常会发现，这个方法可以应用于多种不同的情况，即便各种情况大相径庭，就像球面与平面远不是一回事一样。这种情况在数学界经常出现。目前，意大利的年轻数学家奥利维亚·卡拉麦罗（Olivia Caramello）引起了大家的注意。她认为，很多理论可以在不同的数学领域中发挥影响力，实际上这些理论之间的联系非常紧密，用术语表达的话就是，它们属于同一个“格罗腾迪克拓扑斯”（Grothendieck topos）。因此，在一个数学领域中得到证明的定理，无须再做证明，就可以在另一个看上去完全不同的数学领域中作为定理使用。现在，认为卡拉麦罗像小波尔约一样真的“创造了一个新奇的世界”还为时过早，但是她的研究的确与小波尔约一样，没有违背数学界长期遵循的传统。
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这个传统就叫作“形式主义”（formalism）。哈代在赞赏19世纪的数学家时，谈到的也是这个传统。对于诸如1–1+1–1+……的难题，这些数学家终于不再执着于寻找正确的答案，转而研究如何对它们进行定义的问题。因为这个改变，他们成功地避开了令之前的数学家们头疼不已的“不必要的困扰”。在这种纯理论研究面前，数学变成了一种符号与文字游戏。只要某个语句是根据公理有逻辑地推导得出的，就可以被视作定理。但是，公理和定理指什么、有什么含义，则需要我们定夺。“点”、“直线”或者“金橘”指什么？这些概念可能指具有公理所要求特性的任何事物，至于它们指什么，我们应该选择适合当前需要的含义。一种纯理论的形式主义几何学，从原则上讲，无须让我们看到甚至想象任何点或者直线，至于寻常人如何理解这些点与直线则是一个毫不相干的问题。
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哈代肯定认为孔多塞感受到的痛苦是一种最没有必要的困扰。他可能会建议孔多塞不要追究到底谁才是众望所归的人选，或者不要考虑民众到底希望哪一位候选人当选，而应该认真研究我们如何定义哪位候选人是民众的选择。对待民主问题的这种形式主义观点，在当今这个自由世界十分盛行。在遭到质疑的佛罗里达州2000年总统大选中，由于“蝶形选票”的设计容易误导选民，导致棕榈滩县有几千名选民本来要投阿尔·戈尔一票，结果却把票投给了改革党“传统保守派”候选人帕特·布坎南。如果戈尔得到了这些选票，他就有可能在佛罗里达州的选举中获胜，甚至当选总统。
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但是，戈尔与这些选票失之交臂，而且他没有对此提出异议。美国的选举制度就是一种形式主义的产物：它关注的是选票上的标记，而不是这种标记的含义，即选民的意图。孔多塞希望我们关注选民的意图，而我们（至少官方）却根本不考虑选民到底想要什么。孔多塞还希望我们关注支持拉尔夫·纳德的佛罗里达人，而我们推测（似乎理由非常充分）大多数佛罗里达人对戈尔的支持度超过小布什。因此，我们认为，根据孔多塞公理，胜利者将是戈尔，因为大多数人都觉得他比小布什强，而且有更多的人认为他比纳德强。但是，这些倾向与我们的选举制度无关，因为我们把在投票站收集的纸条上出现频次最高的标记视为民众的意愿。
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当然，选票统计数据本身也引起了争议。那些打孔不彻底的选票，即所谓的孔屑未完全脱落的选票，该如何计票呢？从海外军事基地邮寄的选票，有的无法确定是在投票日当天还是之前寄出的，又如何处理呢？为了尽可能准确地统计出真实的票数，佛罗里达州各县的计票工作需要重复进行多少次呢？
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人们对最后一个问题争论不休，直到美国最高法院做出判决。戈尔的团队曾经要求完成选举工作的各县重新计票，佛罗里达州高等法院也表示同意，但是美国最高法院对此予以否决，并把最终计票结果定为小布什以537票领先，判决小布什在该州的选举中取得了胜利。计票次数越多，结果应该越准确，但最高法院认为，这不是选举的最高目标。他们认为，只有一部分县重新计票，这对那些没有重新计票的县是不公正的。该州应该采取的做法不是尽可能准确地计票（统计真实的得票情况），而是遵守选举制度这种形式上的协议。用哈代的话说，这种协议会告诉我们应该判定哪位候选人为胜利者。
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从更具一般性的意义来看，法律上的形式主义自认为是对程序、法规的坚持，即使（或者说尤其）在这些程序、法规违背常识时，他们也不会放弃这种坚持。法官安东尼·萨卡里亚是法律形式主义最坚定的倡导者，他直言不讳地说：“形式主义万岁！只有形式主义才能决定一个政府实施的是法治，而不是人治。”
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在萨卡里亚看来，如果法官试图了解法律的意图（精神），他们肯定会受到偏见与欲望的误导。最好的做法就是坚持遵守宪法与法规的规定，把这些规定看成公理，然后通过逻辑推理等手段做出判决。
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在刑事诉讼问题上，萨卡里亚同样笃信形式主义。他认为，从本质上讲，只要符合审判程序，法庭做出的任何判决都是公正的。他对2009年特洛伊·戴维斯（Troy Davis）一案做出的判决就非常清楚地表明了他的这种立场。萨卡里亚认为，在已经宣判被告犯有谋杀罪之后，即使9名指证他的证人中有7人推翻了自己的证词，被告也无权要求新一轮的证据听证。
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美国最高法院一直认为，宪法绝不会禁止对经过完整、公正的审判并被判有罪，但之后成功地让人身保护法院相信他其实无罪的被告执行死刑。
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（萨卡里亚的原文对“绝不会”一词进行了加粗处理，同时为“其实”一词加上了醒目的引号。）
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萨卡里亚指出，对法院而言，重要的是陪审团的意见。如果陪审团认为戴维斯犯有谋杀罪，那么无论他是否杀了人，他的谋杀罪都会成立。
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与萨卡里亚不同，首席大法官约翰·罗伯茨（John Roberts）并不是一位形式主义的坚定倡导者，但他对萨卡里亚的观点总体上是持赞成态度的。2005年，他在正式就任首席大法官之前的参议院听证会上以棒球比赛做类比，描述了自己所从事的工作。