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法官应遵循法律的旨意，而不是凌驾于法律之上。法官就像棒球场上的裁判，不是规则的制定者，而是规则的执行者。裁判与法官的作用至关重要，要确保所有人都遵守规则。但是，这种作用是有限的。大家想看的是球赛，而不是裁判的表演。
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不管有意还是无意，罗伯茨的这个观点与“棒球裁判之父”比尔·克莱姆（Bill Klem）不谋而合。克莱姆在美国棒球联赛中担任裁判有将近40年的时间，他曾说过，“最优秀的裁判应该让球迷不记得球场上有裁判”。
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但是，裁判并不像罗伯茨与克莱姆认为的那样只能发挥有限的作用，原因在于棒球是一种形式主义的运动。大家看一下1996年美国棒球联赛决赛的第一场比赛就能明白这个道理，比赛双方是巴尔的摩金莺队与纽约扬基队，比赛地点是纽约的布朗克斯棒球场。金莺队在第八局快结束时领先扬基队，这时，扬基队的游击手德瑞克·基特打出了一记长距离腾空球，球飞向金莺队的中继投手阿曼德·班尼特兹（Armando Benitez）一侧的右外场。这一次击打非常漂亮，但是没有超出中场手托尼·塔拉斯科（Tong Tarasco）的范围，他在球的下方准备接球。突然，坐在露天看台前排的12岁的扬基队球迷杰弗雷·梅耶（Jeffrey Maier）从栅栏上探出身，将球拨进了看台。
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基特知道这个球不是本垒打，塔拉斯科、班尼特兹还有5.6万名扬基队球迷也知道这个球不是本垒打。在扬基队球馆中唯一没有看到梅耶探身拨球的人，也是唯一能决定这次击球分数的人，就是裁判里奇·加西亚（Rich Garcia）。加西亚判定这个球是本垒打，基特也没有纠正裁判的判定，他慢条斯理地上垒，比赛打成了平局。没有人认为他应该提出异议，这是因为棒球比赛是遵循形式主义的运动，裁判的判定就是最终结果，不可以有任何异议。克莱姆说过，职业裁判员最直言不讳的本体论立场宣言就是：“在我做出判定之前，不管发生了什么都不算数。”
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这种情况正在发生变化，但是幅度不大。2008年以来，如果判罚存在争议，球员和裁判可以要求观看录像回放。这种做法有利于裁判做出正确的判罚，但是，很多忠实的棒球迷却认为这有悖于体育精神。我赞同这种观点，我想约翰·罗伯茨也会跟我一样。
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并不是所有人都认同萨卡里亚的法律观（他在“戴维斯”一案中的观点是少数人观点）。我们在前面讨论“阿特金斯诉弗吉尼亚州”一案时就已经知道，宪法中“残酷和非常”等文字为我们的解读留下了很大的空间。如果说伟大的欧几里得公理也语焉不详，我们又怎么能指望开国先驱们不犯类似的错误呢？律师、芝加哥大学教授理查德·波斯纳（Richard Posner）等现实主义法学家认为，最高法院在判决时绝不会像萨卡里亚所说的那样顽固地遵循形式主义的规则。
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最高法院同意受理的大多数案件都非常难以定夺，根据传统的法律推理是无法做出判决的，因为这种推理非常依赖于宪法与法规的条文以及既往同类案件的判决。如果依靠这种从本质上讲属于语义分析的方法就能做出判决，这些案件在州高等法院或者联邦上诉法院就可以审理完成，不会引起争议，也不会被提交到最高法院了。
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根据波斯纳的观点，被提交到最高法院的那些案件是无法通过法律推理解决的。帕斯卡发现无法通过推理证明上帝是否存在，现在，法官们也面临同样的情况。然而，就像帕斯卡说的，我们不能选择放弃，同样，无论传统的法律推理方法是否奏效，法院都必须做出判决。有时，法院会采取帕斯卡的方法：如果无法通过推理判决，就力求取得最佳结果。波斯纳认为，“布什–戈尔选举”案就采取了这种司法程序，萨卡里亚也表示同意。波斯纳指出，他们做出的判决并没有在宪法或者判例中找到真正有效的依据。之所以做出这样的决定，是出于一种实用主义的考虑，即避免选举陷入长时间的混乱状态。
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形式主义被自相矛盾的阴影笼罩
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形式主义简洁明了、毫不花哨，对哈代、萨卡里亚和我这样的人来说极具吸引力。看到一套严格的理论杜绝了自相矛盾的情况，我们就会感到心情舒畅。但是，始终如一地坚持这些原则并非易事，而且未必明智。如果法律条文可能导致荒谬的判决，就连法官萨卡里亚也会偶尔做出让步，将这些条文抛到脑后。同样，无论科学家们声称自己要坚守哪些原则，他们都不希望受到显著性检验的严苛限制。假设我们同时做两个实验，一个实验测试在理论上有效的治疗措施，另一个测试死掉的鲑鱼是否会在浪漫的照片面前产生情绪变化。两个实验都取得了成功，p值为0.03，但是，我们不会对这两个结果采取同样的态度。在得出荒谬的结论时，我们会以怀疑的眼光详加审视，而把规则抛到一边。
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数学界最伟大的形式主义大师是德国数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）。1900年，希尔伯特在巴黎国际数学大会上提交的23个数学问题，为20世纪的众多数学研究指明了方向。即使100多年过去了，人们仍然极为推崇希尔伯特。任何研究，只要与他的这些问题有一点儿相关性，都会受到人们的关注。有一次，我在俄亥俄州哥伦布市遇到一位研究德国文化的历史学家，他告诉我，当今的数学界非常流行凉鞋加短袜的搭配风格，原因就是希尔伯特曾经热衷于这种装扮。我无法验证这是否属实，但是我觉得它非常可信，而且与希尔伯特的影响力持续时间之久这个事实不谋而合。
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在希尔伯特提出的这些问题中，有些问题很快就得到了解决；有些问题，例如涉及最密集的球状填充的第18个问题，直到最近才有人找到了解决方法；还有些问题至今悬而未决，很多人正在孜孜不倦地试图解决它们。如果有人能解决第8个问题，即黎曼假设问题，就可以得到克莱基金会100万美元的奖励。但是，伟大的希尔伯特至少犯过一次错误。他在第10个问题中提出，应该存在某种算法，对于任意方程式，都能告诉我们该方程式的所有根是否都是整数。20世纪六七十年代，马丁·戴维斯（Martin Davis）、尤里·马季亚谢维奇（Yuri Matijasevic）、希拉里·普特南（Hilary Putnam）和茱莉亚·罗宾逊（Julia Robinson）发表了一系列论文，指出这种算法是不存在的。（世界各地的数论学家因此松了一口气，他们在这个研究领域浸淫多年，如果有人证明某个形式主义的算法可以自动解决这些问题，他们可能会感到很沮丧。）
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希尔伯特的第二个问题比较另类，因为它研究的并不是数学本身的问题，而是通过这个问题，对数学领域中的形式主义研究方法表示赞同。
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我们在研究某一门科学时必须确定一系列公理，对该科学的基础观点之间存在的各种关系给出准确、完整的描述。同时，在这个科学领域中，只有从既有公理出发经过有限步骤的逻辑推理得出的结论，才会被视为正确的观点。
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在巴黎做这次报告之前，希尔伯特已经重新审视并改写了欧几里得的5条公理，消除了所有歧义，而且彻底摒弃了对几何学的直观要求。经过他的修改，即使把“点”“直线”代之以“青蛙”“金橘”，这些公理也同样成立。希尔伯特本人说过一句非常有名的话：“无论何时，我们用‘桌子’‘椅子’‘啤酒杯’来表示点、直线和面，都不会引起任何问题。”年轻的亚伯拉罕·瓦尔德是希尔伯特几何学的早期崇拜者之一，他指出在希尔伯特的这些公理中，有的可以从其他公理推导得出，因此这些公理是可有可无的。
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在完成几何学的相关研究之后，希尔伯特并没有满足，他的梦想是创建一个纯粹形式主义的数学体系。在这个数学体系中，说某个语句是正确的，或者说该语句遵从一开始就确定好的规则，这两个说法是完全等价的。安东尼·萨卡里亚式的数学家肯定乐意接受这样的观点，意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）率先确立了一系列算术公理。这些公理不会引发任何有意思的问题或者争议，比如，“0是一个数字”，“如果x等于y，y等于z，那么x等于z”，“如果紧跟在x之后的数字与紧跟在y之后的数字相同，那么x与y相等”，它们大都是显而易见的事实。
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皮亚诺公理有一个显著的特点：从这些最基本的公理出发，可以取得大量数学成果。这些公理本身似乎仅针对整数，但是皮亚诺本人指出，以他的这些公理为基础，只需借助概念和逻辑推理，就可以定义有理数并证明有理数的基本属性。19世纪的数学界充斥着迷惘与危机，因为有人发现解析学与几何学中被广泛接受的定义存在逻辑上的缺陷。希尔伯特认为，形式主义为科学所构建的基础坚不可摧，不会引发任何争议，因此可以用它来消除缺陷。
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但是，“希尔伯特计划”的上方笼罩着一片阴影——自我矛盾的阴影，我们可以想象出这个梦魇般的情景。数学界精诚团结，在公理的基础之上，逐步搭建起囊括数论、几何学与微积分的整个结构，使用的“砖石”是那些新定理，黏合剂则是推理规则。然后，某一天，阿姆斯特丹的一位数学家证明某个数学定理是对的，而东京的另一位数学家却证明这个定理是错的。
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在这种情况下，我们应该怎么办呢？从没有任何疑问的公理却得出了自相矛盾的结果。根据归谬法，我们应该判定是公理出问题了，还是逻辑推理结构出错了？几十年来我们基于这些公理完成的研究该如何处理呢？
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因此，希尔伯特在巴黎国际数学大会上提交的第二个问题是：
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关于这些公理，人们有可能会提出无数疑问，但是，我首先希望解决的最重要的问题是：证明这些公理并不是自相矛盾的，即在这些公理的基础上经过有限步骤的逻辑推理，绝不会得出自相矛盾的结果。
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人们往往会不假思索地认为自相矛盾这个讨厌的结果不会出现，怎么可能会发生这种情况呢？这些公理显然是正确的。但是，在古希腊人看来，几何图形的大小必然是两个整数的比，这是很明显的事实，因为他们就是这样理解“度量”这个概念的。不过，勾股定理与2的平方根这个不容置疑的无理数，动摇了他们的整个理论架构。数学家有一个恶习，即以证明某些明显正确的东西其实是彻头彻尾的错误为乐。我们以德国的逻辑学家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）为例，他与希尔伯特非常相似，也一直致力于建立数学的逻辑基础。弗雷格关注的不是数论，而是集合论。他的出发点也是一系列公理，这些公理显而易见是正确的，因此在这里无须赘述。在弗雷格的集合论中，集合就是一系列对象，即元素。我们通常用波形括号来表示集合，并把各元素置于括号内。因此，{1，2，猪}就是一个集合，元素包括数字1、2与猪。
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如果有些元素之间具有某种共性，而其他元素不具备这种特性，那么，具有该特性的元素又可以构成一个集合。简单地讲，我们现在有一个猪的集合，在这些猪当中，黄毛猪又可以构成一个集合，即黄毛猪集合。我们很难对此提出异议，但是，这些概念实在太宽泛了。一个集合可以包括一群猪、一堆实数或概念（例如多个宇宙），还可能包括其他集合，而导致问题出现的就是其他集合。是否存在包含所有集合的集合呢？肯定是存在的。是否存在包含所有无穷集合的集合呢？当然也会存在。事实上，这两个集合有一个非常奇怪的共性：它们都是自身的元素。例如，包含所有无穷集合的集合，其本身也肯定是一个无穷集合，包含{整数}{整数，猪}{整数，埃菲尔铁塔}之类的元素。很显然，这些元素不胜枚举。
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我们可以类比神话中那条吃掉自己尾巴的饥饿的蛇，把这种集合称作“贪吃蛇集合”。因此，包含无穷集合的集合就是贪吃蛇集合，而{1，2，猪}则不是贪吃蛇集合，因为该集合不是自身的一个元素，其所有元素都是数字或者猪，而不是任何集合。
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有意思的情况出现了。假设NO为所有非贪吃蛇集合构成的集合。NO这样的集合似乎难以想象，但是，如果弗雷格的定义允许这样的集合出现，就必然存在这样的集合。
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