1701027181
在这种情况下，我们应该怎么办呢？从没有任何疑问的公理却得出了自相矛盾的结果。根据归谬法，我们应该判定是公理出问题了，还是逻辑推理结构出错了？几十年来我们基于这些公理完成的研究该如何处理呢？
1701027182
1701027183
因此，希尔伯特在巴黎国际数学大会上提交的第二个问题是：
1701027184
1701027185
关于这些公理，人们有可能会提出无数疑问，但是，我首先希望解决的最重要的问题是：证明这些公理并不是自相矛盾的，即在这些公理的基础上经过有限步骤的逻辑推理，绝不会得出自相矛盾的结果。
1701027186
1701027187
人们往往会不假思索地认为自相矛盾这个讨厌的结果不会出现，怎么可能会发生这种情况呢？这些公理显然是正确的。但是，在古希腊人看来，几何图形的大小必然是两个整数的比，这是很明显的事实，因为他们就是这样理解“度量”这个概念的。不过，勾股定理与2的平方根这个不容置疑的无理数，动摇了他们的整个理论架构。数学家有一个恶习，即以证明某些明显正确的东西其实是彻头彻尾的错误为乐。我们以德国的逻辑学家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）为例，他与希尔伯特非常相似，也一直致力于建立数学的逻辑基础。弗雷格关注的不是数论，而是集合论。他的出发点也是一系列公理，这些公理显而易见是正确的，因此在这里无须赘述。在弗雷格的集合论中，集合就是一系列对象，即元素。我们通常用波形括号来表示集合，并把各元素置于括号内。因此，{1，2，猪}就是一个集合，元素包括数字1、2与猪。
1701027188
1701027189
如果有些元素之间具有某种共性，而其他元素不具备这种特性，那么，具有该特性的元素又可以构成一个集合。简单地讲，我们现在有一个猪的集合，在这些猪当中，黄毛猪又可以构成一个集合，即黄毛猪集合。我们很难对此提出异议，但是，这些概念实在太宽泛了。一个集合可以包括一群猪、一堆实数或概念（例如多个宇宙），还可能包括其他集合，而导致问题出现的就是其他集合。是否存在包含所有集合的集合呢？肯定是存在的。是否存在包含所有无穷集合的集合呢？当然也会存在。事实上，这两个集合有一个非常奇怪的共性：它们都是自身的元素。例如，包含所有无穷集合的集合，其本身也肯定是一个无穷集合，包含{整数}{整数，猪}{整数，埃菲尔铁塔}之类的元素。很显然，这些元素不胜枚举。
1701027190
1701027191
我们可以类比神话中那条吃掉自己尾巴的饥饿的蛇，把这种集合称作“贪吃蛇集合”。因此，包含无穷集合的集合就是贪吃蛇集合，而{1，2，猪}则不是贪吃蛇集合，因为该集合不是自身的一个元素，其所有元素都是数字或者猪，而不是任何集合。
1701027192
1701027193
有意思的情况出现了。假设NO为所有非贪吃蛇集合构成的集合。NO这样的集合似乎难以想象，但是，如果弗雷格的定义允许这样的集合出现，就必然存在这样的集合。
1701027194
1701027195
那么，NO是否是贪吃蛇集合呢？换言之，NO是否是其自身的一个元素呢？根据定义，如果NO是贪吃蛇集合，那么NO就不可能是NO的元素，因为NO只包含非贪吃蛇集合。但是，如果NO不是NO的元素，就说明NO是非贪吃蛇集合，因为NO不是NO的元素。
1701027196
1701027197
不过，别忘了，如果NO是非贪吃蛇集合，那么它必然是NO的一个元素，因为NO是所有非贪吃蛇集合的集合。如果NO真的是NO的元素，就说明NO是贪吃蛇集合。因此，无论我们认为NO是或者不是贪吃蛇集合，都不正确。
1701027198
1701027199
1902年6月，年轻的伯特兰·罗素在给弗雷格的信中就做出了类似的推理。罗素在巴黎国际数学大会上遇到了皮亚诺，至于他是否出席了希尔伯特的讲座就不得而知了，但是，对于将数学简化为一连串始于基础性公理、无任何瑕疵的推理过程的观点，他毫无疑问是赞成的。罗素这封信的开头部分看似在向这位年长的逻辑学家表达崇拜之情：“你的所有主要观点，特别是你反对在逻辑推理中掺杂任何心理因素，以及对数学基础与形式主义逻辑（顺便说一句，两者几乎无法区分）的重视程度，我完全赞同。”但是，随后的一句话写道：“只有一个问题让我觉得很难理解。”
1701027200
1701027201
接着，罗素解释了NO给他带来的困惑，这就是后来被人们称为“罗素悖论”的问题。
1701027202
1701027203
在这封信的结尾，罗素对弗雷格的《算术基础》（Grundgesetze）第二卷仍未出版一事表示遗憾。事实上，在弗雷格收到罗素这封信时，这部书已经完成正准备印刷。尽管罗素的来信非常恭敬（“我很难理解”，而不是说“我刚刚推翻了你毕生研究的成果”），但是弗雷格立刻意识到罗素悖论对他的集合论意味着什么。书稿已经来不及修改了，于是他赶紧在书后附上了补充说明，介绍了罗素的颠覆性见解。弗雷格的这番解释可能是数学技术性著作中最忧伤的表述：“在研究刚刚完成时，研究的基础却被推翻了，这是科学家最不愿意见到的事。”
1701027204
1701027205
希尔伯特等形式主义者绝不希望公理中藏有定时炸弹，即存在自相矛盾的情况，他希望数学的框架能确保一致性。希尔伯特并不认为算术中可能隐藏着自相矛盾的地方，同大多数数学家甚至大多数普通人一样，他相信算术的标准规则都是关于整数的正确表述，因此不可能相互冲突。但是，这还不够，因为这个信念的基础是假定整数集的确存在。很多人都认为这个问题非常棘手。几十年前，格奥尔格·康托尔首次站在严谨的数学立场上提出了“无穷”的概念，但是他的这个成果难以理解，也不易得到广泛认可，而且有一大群数学家认为，依赖于无穷集合的任何证明过程都值得怀疑。出现数字7时，大家都愿意接受，而出现所有数字的集合这类概念时却会引起争议。希尔伯特非常清楚罗素的所作所为对弗雷格的意义，也清楚对无穷集合进行随机性推理会造成哪些危险。1926年，希尔伯特指出：“认真的读者会发现数学文献中充斥着大量愚蠢、荒谬的错误，这些错误的根源就在于无穷这个概念。”（这样的语调用于安东尼·萨卡里亚的异议声明是比较妥当的，他的那些声明读起来更加令人胆战心惊。）希尔伯特希望找到关于一致性的有限性的证明方法，一种无须依赖于任何无穷集合，只要是有理性的人便会心甘情愿地全盘接受的证明方法。
1701027206
1701027207
但是，希尔伯特的愿望是无法实现的。1931年，库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）在他的著名的第二条不完全性定理中，证明了关于算术一致性的有限性的证明方法是不存在的，这对希尔伯特的计划是致命一击。
1701027208
1701027209
大家会不会担心明天下午所有数学家都会因为受到类似的打击而崩溃呢？无论有什么情况发生，我都不会担心。我相信无穷集合是有道理的，借助无穷集合完成的一致性证明也是可靠的。
1701027210
1701027211
大多数数学家都和我持一样的态度，但是，也有人持有异议。2011年，普林斯顿大学的逻辑学家爱德华·尼尔森到处宣传一个关于算术不一致性的证明方法。（值得庆幸的是，陶哲轩在几天之后就发现尼尔森的证明中有一个错误。）2010年，现在普林斯顿大学高等研究院任职的菲尔兹奖得主弗拉基米尔·沃沃斯基（Vladimir Voevodsky）宣称，他认为没有理由相信算术具有一致性，这引起了大家的注意。他与不同国家的多名合作者一起，为数学提出了一个新的基础。希尔伯特以几何学为出发点，但是他很快发现算术的一致性是一个基础性更强的问题。与之相反，沃沃斯基等人则认为几何学是基础性的数学领域，不是因为几何学是欧几里得非常熟悉的内容，而是因为更具有现代性的“同伦论”（homotopy theory）支持这种观点。他们提出的这个数学基础会不会遭到怀疑或导致自相矛盾的结果呢？再过20年我会告诉你答案，因为只有时间才能做出回答。
1701027212
1701027213
尽管希尔伯特的形式主义计划夭折了，但是他在数学研究方面的风格却延续下来。甚至在哥德尔完成他的那项研究之前，希尔伯特就已经明确表示，他并不希望运用从本质上讲属于形式主义的方法构建数学，因为难度太大了！即使可以另起炉灶，把几何学研究变成摆弄无任何意义的符号串，但是，如果不绘制、想象几何图形，不把几何物体看成真实的事物，任何人都不可能在几何研究领域有所建树。这种观点通常被称作“柏拉图主义”（Platonism），但是，我哲学界的朋友大多对此嗤之以鼻：现实中怎么可能存在15维超级立方体呢？我只能告诉他们，在我看来，这样的东西与山脉没有任何不同，都是真实存在的事物，原因很简单，我能为15维超级立方体下定义。大家是不是也可以为一座山下定义呢？
1701027214
1701027215
但是，我们的身上都有希尔伯特的影子。周末和一些哲学家喝啤酒时，他们取笑我们连研究对象是什么都没有搞清楚，我只能辩解说：我们在研究中的确要依靠几何直觉，但是我们知道我们的最终结论是正确的，因为我们有形式主义的证据作为后盾。菲利普·戴维斯（Philip Davis）和鲁本·赫什（Reuben Hersh）说得非常好：“通常，从事研究的数学家在工作日里都信奉柏拉图主义，到了周末则信奉形式主义。”
1701027216
1701027217
希尔伯特并不希望颠覆柏拉图主义，而是希望为几何学等学科奠定坚实的形式主义基础，从而捍卫柏拉图主义，使我们在周末和工作日里都能心安理得。
1701027218
1701027219
伟大的数学家并不都是天才
1701027220
1701027221
我前面说的这些话似乎是在为希尔伯特摇旗呐喊。尽管这些观点都是正确的，但是我担心过多关注这些大人物的言论，会让人们对数学产生误解，以为数学研究只是少数天赋异禀的人在孤军作战，为人类的发展开辟道路。某些个案的确如此，例如斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）的研究。拉马努金是印度南部的一位数学天才，从小就有诸多惊人的独创性见解。他自称之所以能有这些见解，是受到了女神娜马卡尔的启发。多年来，他一直游离于数学圈之外，潜心钻研，通过不多的几本著作了解最新的数学动态。1913年，在他终于进入数论这片广阔天地时，他已经在笔记本上写下了约4 000条定理。时至今日，这些定理中还有不少是数学研究的热点。（女神只把这些定理告诉了拉马努金，而证明工作则交给我们这些后来人去完成。）
1701027222
1701027223
但是，拉马努金是个特例，人们经常讲述他的故事，正是因为他不具有代表性。希尔伯特在上学时成绩不错，但不是特别突出，更算不上格尼斯堡最杰出的年轻数学家。当时，格尼斯堡最引人注目的年轻数学家是比希尔伯特小两岁的赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）。闵可夫斯基后来虽然也在数学领域取得了杰出的成就，但他不是希尔伯特。
1701027224
1701027225
在数学教学活动中最令人痛心的事，就是看到学生因为对天才的膜拜而自毁前程。因为盲目迷信天才，学生们认为只有特定的几个人才可以做出重要贡献，因此，如果在数学方面天赋不高就不应该钻研数学。但是，我们在其他学科上却不会有这种想法。我从来没有听到学生说：“我喜欢《哈姆雷特》，但是戏剧课不适合我。坐在第一排的那个家伙是个戏剧通，他从9岁时就开始读莎士比亚的作品了！”运动员也不会因为队友表现优异而放弃自己的运动生涯。然而，一些有前途的学生尽管热爱数学，但在看到有人“遥遥领先”之后就放弃了学习数学。每年，我都会遇到这样的情况。
1701027226
1701027227
因此，我们与很多本来会从事数学研究的人才失之交臂。而且，我们需要更多的数学专业毕业生从事其他工作，比如，医生、中学老师、首席执行官（CEO）、参议员等。我们必须先摒除数学仅适合天才的偏见，才有可能实现这个目标。
1701027228
1701027229
对天才的膜拜往往还会导致人们忽视刻苦钻研的重要性。起初，我认为“刻苦”是一种遮遮掩掩的侮辱性评价，其潜台词是：你并不认为这个学生聪明。但是，并非所有人都能做到刻苦钻研（尽管看不到明显进展，却仍然全神贯注、有条不紊地反复钻研某个问题，不放过所有可能取得突破的机会）。当今的哲学家把这种品质称作“勇气”，它是数学研究必备的条件。人们很容易忽视刻苦钻研的重要性，因为人们可能觉得获得数学灵感无须费力气。我至今还记得我证明的第一个定理，当时我在写大学毕业论文时遇到了麻烦。一天晚上，校园文学杂志社召集编辑们开会。我们一边喝着红酒，一边心不在焉地讨论一篇有点儿枯燥的短篇小说。突然，我灵光乍现，想到了如何解决毕业论文中的那个难题。虽然想法还不太成型，但却无伤大雅，我确定这个问题终于解决了。
1701027230
[
上一页 ]
[ :1.701027181e+09 ]
[
下一页 ]