1701027231
数学上的创新突破往往不期而至。法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poin ca ré）对自己于1881年在几何学上取得的突破有如下描述：
1701027232
1701027233
到达库唐赛之后，我们上了一辆开往某个地方的公共汽车。就在我上车的那一瞬间，我突然想起我用来限定富克斯函数的正是非欧几里得几何学中的转换函数。落座之后，我和别人接着聊上车前聊的话题，因此没有时间证明这个想法。但是，我确信这个想法是正确的。我发誓，回到卡昂之后，我一腾出时间就完成了它的证明工作。
1701027234
1701027235
不过，庞加莱解释说，这个想法并不是真的在上车的那一瞬间突然出现的。在之前的几周时间里，他一直在有意无意地思考这个问题，已经做好了将这两个概念联系起来的思想准备，终于在那一瞬间产生了灵感。即使是一个天才，如果无所事事地坐等灵感闪现，也终将一事无成。
1701027236
1701027237
这个问题我可能很难说清楚，因为我小时候是个神童，6岁时，我就知道自己以后会从事数学研究。我到高年级听课，参加各类数学竞赛，还获得许多奖项。上大学时，我确信那些学习奥数的我的竞争对手将成为伟大的数学家。然而，事实跟我预想的不完全一样。那些希望之星中确实涌现出许多杰出的数学家，例如调和分析学家、菲尔兹奖得主陶哲轩。但是，现在我身边的这些数学家，他们13岁时在数学上还没有什么突出的表现。他们成为数学家的历程与陶哲轩有所不同，如果他们在中学时就放弃了数学学习，还会取得今日的成就吗？
1701027238
1701027239
在学习数学很长一段时间之后，我们会发现总有人比我们优秀，有的甚至还与我们坐在同一间教室中（我认为其他领域也会出现类似的情况）。刚开始的时候，人们会密切关注那些提出有用定理的人，提出有用定理的人又会关注那些提出很多有用定理的人，提出很多有用定理的人又会关注获得菲尔兹奖的人，获得菲尔兹奖的人又会关注菲尔兹奖得主中的关键人物，而那些关键人物的关注对象则可能是已经过世的数学家。没有人看着镜子中的自己说：“坚持住，我比高斯更聪明。”然而，在刚刚过去的100年时间里，这些与高斯比起来相形见绌的人通过共同努力，使数学进入了迄今为止最辉煌的时期。
1701027240
1701027241
一般说来，数学研究是一种集体活动，一大群人为了共同的目的殚精竭虑。虽然我们会把荣誉的光环戴在最后一锤定音的那个人头上，但是每个人都为最终的成功做出了自己的贡献。马克·吐温有一句话说得非常好：“电报、蒸汽机、留声机、电话等重要发明，往往需要成千上万人的努力，但得到荣誉的总是取得最后胜利的那个人，而其他人则被忘得一干二净。”
1701027242
1701027243
这与橄榄球比赛非常相似。橄榄球比赛中当然会出现某位球员主导比赛的情况，即使很长时间之后，我们仍然会对这样的场景津津乐道。但是，橄榄球比赛并不总会出现这样的情况，这也不是球队获胜的常见方式。当四分卫为奔跑的外接手传出一个令人眼花缭乱的达阵传球时，我们所看到的其实是有很多人参与的整体配合，包括四分卫与外接手的配合、进攻内锋的配合（他们组织的防线使四分卫有时间发起进攻并传球，同时让跑锋假装接手递手传球，以分散对方防守队员的注意力，赢得宝贵的进攻时间），此外还有负责战术设计的进攻教练、多名手拿战术图板的助理教练，以及训练队员奔跑、传球的教练团队等的配合。这些人不都是天才，但他们为天才的诞生创造了条件。
1701027244
1701027245
陶哲轩指出：
1701027246
1701027247
在大众心目中，离群索居（还可能有点儿疯狂）的天才往往对文献资料等前人智慧的结晶视而不见，但他们总能获得神秘的灵感（有时候是在经过痛苦的思考之后突然获得的），在所有专家都一筹莫展的时候，为某个问题提供独创性的解决方法，令所有人大吃一惊。这样的人物形象的确充满传奇色彩，但至少在现代数学领域是不存在的。虽然我们的确有很多惊人的数学结论和深刻的数学定理，但它们都是众多杰出的数学家几年、几十年甚至几百年不懈努力的结果。理解层面上的每次突破的确都很不平凡，有些甚至出人意料，但这些突破都是建立在前人努力的基础之上，而不是凭空出现的全新成果……在现实中，人们在直觉、文献的指引下，通过刻苦钻研，再加上一点儿运气，在数学研究过程中不断取得进展。事实上，我甚至觉得这种情况比上述充满传奇色彩的想象更令我热血沸腾，尽管上学的时候，我取得的进步也大多源自专属于少数“天才”的神秘灵感。
1701027248
1701027249
说希尔伯特是天才并没有错，但更正确的说法是，他取得了天才才能取得的成就。天才并不是指某种类型的人，而是指其取得的伟大成就。
1701027250
1701027251
政治的逻辑
1701027252
1701027253
政治逻辑与希尔伯特等数学逻辑学家所指的形式主义不是一回事，但是，拥有形式主义世界观的数学家在面对政治问题时却别无选择，只能采取这种方法，而且他们的这种做法得到了希尔伯特本人的鼓励。1918年，希尔伯特在做题为“公理化思想”（Axiomatic Thought）的报告时，倡导其他科学领域采用在数学领域大获成功的公理化方法。
1701027254
1701027255
我们以哥德尔为例，他的定理表明，完全排除算术中的自相矛盾现象是不可能的。1948年，哥德尔在准备美国公民入籍考试时研究了美国宪法，结果发现其中存在自相矛盾的地方，有可能导致法西斯独裁者以完全符合宪法的方式控制美国，他对此深感不安。哥德尔的朋友爱因斯坦和奥斯卡·摩根斯特恩都告诫他在参加考试时不要提这个问题，但是，根据摩根斯特恩的回忆，哥德尔和考官进行了这样的对话：
1701027256
1701027257
考官：哥德尔先生，你从哪里来？
1701027258
1701027259
哥德尔：我来自哪里？澳大利亚。
1701027260
1701027261
考官：澳大利亚的政府属于什么类型？
1701027262
1701027263
哥德尔：它是一个共和政府，但是由于宪法的问题，最终变成了一个独裁政府。
1701027264
1701027265
考官：哦，这真是太糟糕了！美国政府就不会实行独裁统治。
1701027266
1701027267
哥德尔：美国也会的，我可以证明这个问题。
1701027268
1701027269
值得庆幸的是，考官迅速转换了话题，哥德尔也在程序规定的时间里获得了美国公民的身份。至于哥德尔在美国宪法中发现的矛盾，似乎并没有被记载到数学史中，也许这是最好的结果！
1701027270
1701027271
由于希尔伯特坚持逻辑原则与推理，因此，同孔多塞一样，他对数学以外的事务也经常持有非常现代的观点。希尔伯特拒绝在“针对文化世界的1914年宣言”（Declaration to the Cultural World）上签名，虽然这一行为导致他的政治利益受到了某种程度的损害。这份宣言的目的是在欧洲为第一次世界大战进行辩护，并列出了一长串否认声明。声明全部采用了“认为……的观点是不正确的”格式，例如“认为德国破坏了比利时的中立立场的观点是不正确的”。很多伟大的德国科学家，包括费力克斯·克莱茵（Felix Klein）、威廉·伦琴（Wilhelm Roentgen）和马克斯·普朗克（Max Planck）等人，都签署了这份宣言。希尔伯特拒绝签名的理由非常简单，他认为无法证明这些观点真的是错误的。
1701027272
1701027273
一年之后，哥廷根大学为是否聘用伟大的代数学家埃米·诺特（Emmy Noether）一事而犹豫不决，原因是他们认为不能让学生跟随一名女性教师学习数学。希尔伯特说：“候选人的性别竟然成为不被聘用的理由，我觉得这是没有道理的。我们办的是大学，而不是澡堂。”
1701027274
1701027275
但是，理性的政治分析有其局限性。20世纪30年代，纳粹巩固了他们对德国的统治，已经年老的希尔伯特实在无法理解自己的祖国为什么会发生这样的变化。1938年，他的第一个博士生奥托·布鲁门塔尔（Otto Blumenthal）来到哥廷根大学，为他庆祝76岁生日。布鲁门塔尔是一名基督徒，但因为出身犹太家庭，他被剥夺了在亚琛学术界工作的权利。（同年，亚伯拉罕·瓦尔德离开了被德国占领的奥地利，前往美国。）
1701027276
1701027277
康斯坦丝·瑞德（Constance Reid）在希尔伯特传记中回忆了那次生日派对上的一段对话：
1701027278
1701027279
希尔伯特问：“这学期教什么课啊？”
1701027280
[
上一页 ]
[ :1.701027231e+09 ]
[
下一页 ]