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尽管希尔伯特的形式主义计划夭折了，但是他在数学研究方面的风格却延续下来。甚至在哥德尔完成他的那项研究之前，希尔伯特就已经明确表示，他并不希望运用从本质上讲属于形式主义的方法构建数学，因为难度太大了！即使可以另起炉灶，把几何学研究变成摆弄无任何意义的符号串，但是，如果不绘制、想象几何图形，不把几何物体看成真实的事物，任何人都不可能在几何研究领域有所建树。这种观点通常被称作“柏拉图主义”（Platonism），但是，我哲学界的朋友大多对此嗤之以鼻：现实中怎么可能存在15维超级立方体呢？我只能告诉他们，在我看来，这样的东西与山脉没有任何不同，都是真实存在的事物，原因很简单，我能为15维超级立方体下定义。大家是不是也可以为一座山下定义呢？
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但是，我们的身上都有希尔伯特的影子。周末和一些哲学家喝啤酒时，他们取笑我们连研究对象是什么都没有搞清楚，我只能辩解说：我们在研究中的确要依靠几何直觉，但是我们知道我们的最终结论是正确的，因为我们有形式主义的证据作为后盾。菲利普·戴维斯（Philip Davis）和鲁本·赫什（Reuben Hersh）说得非常好：“通常，从事研究的数学家在工作日里都信奉柏拉图主义，到了周末则信奉形式主义。”
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希尔伯特并不希望颠覆柏拉图主义，而是希望为几何学等学科奠定坚实的形式主义基础，从而捍卫柏拉图主义，使我们在周末和工作日里都能心安理得。
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伟大的数学家并不都是天才
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我前面说的这些话似乎是在为希尔伯特摇旗呐喊。尽管这些观点都是正确的，但是我担心过多关注这些大人物的言论，会让人们对数学产生误解，以为数学研究只是少数天赋异禀的人在孤军作战，为人类的发展开辟道路。某些个案的确如此，例如斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）的研究。拉马努金是印度南部的一位数学天才，从小就有诸多惊人的独创性见解。他自称之所以能有这些见解，是受到了女神娜马卡尔的启发。多年来，他一直游离于数学圈之外，潜心钻研，通过不多的几本著作了解最新的数学动态。1913年，在他终于进入数论这片广阔天地时，他已经在笔记本上写下了约4 000条定理。时至今日，这些定理中还有不少是数学研究的热点。（女神只把这些定理告诉了拉马努金，而证明工作则交给我们这些后来人去完成。）
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但是，拉马努金是个特例，人们经常讲述他的故事，正是因为他不具有代表性。希尔伯特在上学时成绩不错，但不是特别突出，更算不上格尼斯堡最杰出的年轻数学家。当时，格尼斯堡最引人注目的年轻数学家是比希尔伯特小两岁的赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）。闵可夫斯基后来虽然也在数学领域取得了杰出的成就，但他不是希尔伯特。
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在数学教学活动中最令人痛心的事，就是看到学生因为对天才的膜拜而自毁前程。因为盲目迷信天才，学生们认为只有特定的几个人才可以做出重要贡献，因此，如果在数学方面天赋不高就不应该钻研数学。但是，我们在其他学科上却不会有这种想法。我从来没有听到学生说：“我喜欢《哈姆雷特》，但是戏剧课不适合我。坐在第一排的那个家伙是个戏剧通，他从9岁时就开始读莎士比亚的作品了！”运动员也不会因为队友表现优异而放弃自己的运动生涯。然而，一些有前途的学生尽管热爱数学，但在看到有人“遥遥领先”之后就放弃了学习数学。每年，我都会遇到这样的情况。
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因此，我们与很多本来会从事数学研究的人才失之交臂。而且，我们需要更多的数学专业毕业生从事其他工作，比如，医生、中学老师、首席执行官（CEO）、参议员等。我们必须先摒除数学仅适合天才的偏见，才有可能实现这个目标。
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对天才的膜拜往往还会导致人们忽视刻苦钻研的重要性。起初，我认为“刻苦”是一种遮遮掩掩的侮辱性评价，其潜台词是：你并不认为这个学生聪明。但是，并非所有人都能做到刻苦钻研（尽管看不到明显进展，却仍然全神贯注、有条不紊地反复钻研某个问题，不放过所有可能取得突破的机会）。当今的哲学家把这种品质称作“勇气”，它是数学研究必备的条件。人们很容易忽视刻苦钻研的重要性，因为人们可能觉得获得数学灵感无须费力气。我至今还记得我证明的第一个定理，当时我在写大学毕业论文时遇到了麻烦。一天晚上，校园文学杂志社召集编辑们开会。我们一边喝着红酒，一边心不在焉地讨论一篇有点儿枯燥的短篇小说。突然，我灵光乍现，想到了如何解决毕业论文中的那个难题。虽然想法还不太成型，但却无伤大雅，我确定这个问题终于解决了。
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数学上的创新突破往往不期而至。法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poin ca ré）对自己于1881年在几何学上取得的突破有如下描述：
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到达库唐赛之后，我们上了一辆开往某个地方的公共汽车。就在我上车的那一瞬间，我突然想起我用来限定富克斯函数的正是非欧几里得几何学中的转换函数。落座之后，我和别人接着聊上车前聊的话题，因此没有时间证明这个想法。但是，我确信这个想法是正确的。我发誓，回到卡昂之后，我一腾出时间就完成了它的证明工作。
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不过，庞加莱解释说，这个想法并不是真的在上车的那一瞬间突然出现的。在之前的几周时间里，他一直在有意无意地思考这个问题，已经做好了将这两个概念联系起来的思想准备，终于在那一瞬间产生了灵感。即使是一个天才，如果无所事事地坐等灵感闪现，也终将一事无成。
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这个问题我可能很难说清楚，因为我小时候是个神童，6岁时，我就知道自己以后会从事数学研究。我到高年级听课，参加各类数学竞赛，还获得许多奖项。上大学时，我确信那些学习奥数的我的竞争对手将成为伟大的数学家。然而，事实跟我预想的不完全一样。那些希望之星中确实涌现出许多杰出的数学家，例如调和分析学家、菲尔兹奖得主陶哲轩。但是，现在我身边的这些数学家，他们13岁时在数学上还没有什么突出的表现。他们成为数学家的历程与陶哲轩有所不同，如果他们在中学时就放弃了数学学习，还会取得今日的成就吗？
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在学习数学很长一段时间之后，我们会发现总有人比我们优秀，有的甚至还与我们坐在同一间教室中（我认为其他领域也会出现类似的情况）。刚开始的时候，人们会密切关注那些提出有用定理的人，提出有用定理的人又会关注那些提出很多有用定理的人，提出很多有用定理的人又会关注获得菲尔兹奖的人，获得菲尔兹奖的人又会关注菲尔兹奖得主中的关键人物，而那些关键人物的关注对象则可能是已经过世的数学家。没有人看着镜子中的自己说：“坚持住，我比高斯更聪明。”然而，在刚刚过去的100年时间里，这些与高斯比起来相形见绌的人通过共同努力，使数学进入了迄今为止最辉煌的时期。
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一般说来，数学研究是一种集体活动，一大群人为了共同的目的殚精竭虑。虽然我们会把荣誉的光环戴在最后一锤定音的那个人头上，但是每个人都为最终的成功做出了自己的贡献。马克·吐温有一句话说得非常好：“电报、蒸汽机、留声机、电话等重要发明，往往需要成千上万人的努力，但得到荣誉的总是取得最后胜利的那个人，而其他人则被忘得一干二净。”
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这与橄榄球比赛非常相似。橄榄球比赛中当然会出现某位球员主导比赛的情况，即使很长时间之后，我们仍然会对这样的场景津津乐道。但是，橄榄球比赛并不总会出现这样的情况，这也不是球队获胜的常见方式。当四分卫为奔跑的外接手传出一个令人眼花缭乱的达阵传球时，我们所看到的其实是有很多人参与的整体配合，包括四分卫与外接手的配合、进攻内锋的配合（他们组织的防线使四分卫有时间发起进攻并传球，同时让跑锋假装接手递手传球，以分散对方防守队员的注意力，赢得宝贵的进攻时间），此外还有负责战术设计的进攻教练、多名手拿战术图板的助理教练，以及训练队员奔跑、传球的教练团队等的配合。这些人不都是天才，但他们为天才的诞生创造了条件。
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陶哲轩指出：
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在大众心目中，离群索居（还可能有点儿疯狂）的天才往往对文献资料等前人智慧的结晶视而不见，但他们总能获得神秘的灵感（有时候是在经过痛苦的思考之后突然获得的），在所有专家都一筹莫展的时候，为某个问题提供独创性的解决方法，令所有人大吃一惊。这样的人物形象的确充满传奇色彩，但至少在现代数学领域是不存在的。虽然我们的确有很多惊人的数学结论和深刻的数学定理，但它们都是众多杰出的数学家几年、几十年甚至几百年不懈努力的结果。理解层面上的每次突破的确都很不平凡，有些甚至出人意料，但这些突破都是建立在前人努力的基础之上，而不是凭空出现的全新成果……在现实中，人们在直觉、文献的指引下，通过刻苦钻研，再加上一点儿运气，在数学研究过程中不断取得进展。事实上，我甚至觉得这种情况比上述充满传奇色彩的想象更令我热血沸腾，尽管上学的时候，我取得的进步也大多源自专属于少数“天才”的神秘灵感。
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说希尔伯特是天才并没有错，但更正确的说法是，他取得了天才才能取得的成就。天才并不是指某种类型的人，而是指其取得的伟大成就。
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政治的逻辑
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政治逻辑与希尔伯特等数学逻辑学家所指的形式主义不是一回事，但是，拥有形式主义世界观的数学家在面对政治问题时却别无选择，只能采取这种方法，而且他们的这种做法得到了希尔伯特本人的鼓励。1918年，希尔伯特在做题为“公理化思想”（Axiomatic Thought）的报告时，倡导其他科学领域采用在数学领域大获成功的公理化方法。
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我们以哥德尔为例，他的定理表明，完全排除算术中的自相矛盾现象是不可能的。1948年，哥德尔在准备美国公民入籍考试时研究了美国宪法，结果发现其中存在自相矛盾的地方，有可能导致法西斯独裁者以完全符合宪法的方式控制美国，他对此深感不安。哥德尔的朋友爱因斯坦和奥斯卡·摩根斯特恩都告诫他在参加考试时不要提这个问题，但是，根据摩根斯特恩的回忆，哥德尔和考官进行了这样的对话：
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考官：哥德尔先生，你从哪里来？
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哥德尔：我来自哪里？澳大利亚。
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考官：澳大利亚的政府属于什么类型？
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