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西尔弗摆脱了政治新闻的僵化传统，把更真实的情况呈现给大众。他在新闻报道中没有预言谁会获胜，也没有说谁的“势头很猛”，而是预测了这些候选人成功当选的概率。他没有告诉大众奥巴马可能赢得多少选举团的选票，而是报告了概率分布情况，即奥巴马有67%的概率获得再次当选总统所需的270张选举团的选票，票数突破300张的概率为44%，获得330张选票的概率为21%，等等。从严谨的角度看，西尔弗的公开预测充满不确定性，但是公众却全盘接受了他的看法。这样的结果，连我都觉得不可思议。
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所有的行为，都充满了不确定性。
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不可过于计较精确性
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西尔弗指出：“从目前的态势看，奥巴马获胜的概率为73.1%。”有人认为这种说法有误导性，对于这个批评意见，我在一定程度上持赞成态度，因为这个数字暗示这个预测结果具有某种可能并不存在的精确性。如果他使用的预测模型今天给出的结果是73.1%，明天又变成73%，那么大家不会认为这样的模型具有统计学显著性。这个批评意见针对的是西尔弗的预测结果，而不是他的预测模型。由于政治新闻记者们认为这个看上去十分精准的数字会给读者留下深刻印象，并使其下意识地接受这个观点，因此，这个批评意见还是颇有道理的。
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过于精确有时也会产生问题。我们在标准化测试中使用的评分方法可以使分数精确至小数点后好几位，但是我们不应该这样做。因为当前的精确度已经足以让学生们严阵以待，无须再让他们为了同学拥有0.01分的微弱优势而惴惴不安了。
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如果在选举中盲目追求精确性，不仅在人们躁动不安地观望选举结果时会造成不良影响，而且在选举结束后，这种影响也不会马上消失。大家别忘了，在佛罗里达州2000年的选举中，小布什与阿尔·戈尔之间仅差几百张选票，约占总票数的万分之一。从法律及习惯的角度看，这几百张选票对于判断到底哪位候选人可以成功当选总统具有非常重要的意义。但是，从佛罗里达州人民到底希望谁当选总统这个角度看，过于计较这个问题是非常荒谬的。选票污损、丢失、计票错误等原因造成的不精确性，使得最终票数的细微差别已经没有多大意义了，我们无法知道到底谁在佛罗里达州获得的选票更多。法官与数学家的区别在于：法官必须想方设法假装自己知道结果，而数学家则可以肆无忌惮地说出真相。
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记者查尔斯·塞费（Charles Seife）在《证明》（Proofi ness）一书中，对民主党人阿尔·弗兰肯（Al Franken）与共和党人诺姆·科尔曼（Norm Coleman）在明尼苏达州争夺美国参议员席位一事进行了有趣但又令人沮丧的描述。这次对决双方势均力敌，但是，通过冷静的分析，人们发现支持弗兰肯的明尼苏达州人整整多出了312个，因此，预言弗兰肯将获得这个席位似乎是合情合理的。不过，在现实情况中，这个数字却必然是人们对某些问题的合法性（诸如在弗兰肯的姓名上画圈、填写“蜥蜴人”[2]的选票是否合法）存在广泛争议的产物。一旦我们对这类争议形成定论，谁“真正”获得较多选票的问题就失去了意义，因为“信号”已经被“噪声”淹没。西尔弗认为票数如此接近的选举应当通过抛硬币来决定谁当选。有人无法接受这种单凭运气选择政府官员的方法，但我却倾向于表示支持。因为抛硬币的最大好处就在于随机性，势均力敌的选举本来就是靠随机性决定结果。大城市遭遇恶劣天气，偏远乡镇的投票机器发生故障，彩票设计不合理导致年老的犹太人把选票投给帕特·布坎南等，在选举陷入势均力敌的僵局时，这些随机性事件都有可能对选举结果产生影响。用抛硬币的方法，我们就无须心口不一地宣布，在这场旗鼓相当的竞赛中，选民支持的是获胜的那位候选人。有时，选民会表示抗议：“我不知道（该选谁）。”
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大家可能认为我过于看重精确性了吧。人们常常认为数学家总是强调确定性，还认为我们一直讲究精确性，在所有计算中都希望小数点后能保留尽可能多的位数。其实这种想法是错误的，我们在计算时，会根据需要决定精确程度。中国有一个叫作陆超的年轻人，可以将圆周率小数点后的67 890位数字背诵出来。这样的记忆力的确相当惊人，但是这样的行为有意义吗？没有任何意义，因为圆周率小数点后面的那些数字没有意义。大家都知道，那些数字几乎就是随机出现的。当然，圆周率本身是有意义的，但是圆周率并不等同于那些数字，那些数字仅仅是用来描述圆周率的。同样，我们可以用北纬48.858 6度、东经2.294 2度这样的经纬度来表示埃菲尔铁塔的位置，无论把这两个数字精确到小数点后多少位，它们仍然无法揭示出埃菲尔铁塔之所以是埃菲尔铁塔的原因。
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精确性不仅仅是指有多少个小数位。本杰明·富兰克林（Benjamin Franklin）对他在费城的知识分子圈成员托马斯·戈弗雷（Thomas Godfrey）的描述十分犀利：“他的知识面非常狭窄，而且他很难相处。同我认识的大多数伟大的数学家一样，他对人们说的每一句话都非常较真，在小事上吹毛求疵，和他交谈总是让人十分头疼。”
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这样的指责并不是完全空穴来风，令人无法回应。数学家有可能对逻辑上的细枝末节过于挑剔，而我们则认为这非常荒谬。如果有人问：“你要汤还是沙拉加汤？”我们的回答往往是：“好的。”
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无法计算
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然而，即使数学家也不希望严格遵循逻辑（说俏皮话时例外），因为这是一种非常危险的行为。举个例子，如果我们是信奉纯粹推理主义的思想家，一旦我们相信的两个事实相互矛盾，从逻辑上讲我们就会认为所有的说法都是错误的。假设我相信巴黎是法国首都，同时我也相信巴黎不是法国首都，这似乎与波特兰开拓者队是不是1982年的NBA总冠军无关。但是，我们来看看其中的玄机。“巴黎是法国首都且开拓者队赢得了NBA总冠军”这个说法是事实吗？这不是事实，因为我知道巴黎不是法国首都。
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如果“巴黎是法国首都且开拓者队是NBA总冠军”这个说法不正确，那么，要么巴黎不是法国首都，要么开拓者队不是NBA总冠军。但是，我知道巴黎是法国首都，因此我可以排除第一种可能。所以，开拓者队没有赢得1982年的NBA总冠军。
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不难发现，如果把这个证明过程逆向展开，我们也可以证明所有的说法都是正确的。
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这种情况似乎非常奇怪，但是作为逻辑推理，这是无可辩驳的。在形式主义系统的任意位置加入一点儿矛盾的成分，都会让整个系统崩溃。有数学天赋的哲学家把形式主义逻辑的脆弱性称为“爆炸原则”。
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詹姆斯·库克船长[3]为独裁者的机器人输入了一个悖论，结果在爆炸原则的作用下，这些机器人的推理模块遭到破坏并停止运行。（在电源灯熄灭之前，他们伤心地说：无法计算。）库克船长借助一个悖论，让那些傲慢的机器人丧失了能力，而伯特兰·罗素同样借助一个阴险的悖论，使戈特洛布·弗雷格的集合论分崩离析。
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不过，库克船长的那一套把戏对人类无效。即使以数学研究为生的人也不会像机器人那样进行推理，而是对矛盾有一定的容忍度。斯科特·菲茨杰拉德（Scott Fitzgerald）说过：“一流的智力应该具备同时考虑两种相互矛盾的观点并且正常运转的能力。”
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数学家将这种能力作为一种基本的思维工具，它是归谬法的基础，因为归谬法要求在推理过程中把我们视为错误的命题当作真命题：虽然我们试图证明2的平方根不是有理数，但是我们先假设它是一个有理数……这其实是在大脑清醒的状态下进行梦游，在这个过程中我们的思维不能短路。
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事实上，人们经常建议（我在攻读博士学位时，导师就是这样建议我的，可能他的导师当初也给了他同样的建议），当为一个定理绞尽脑汁时，我们应该在白天证明它是正确的，在晚上证明它是错误的。具体采用什么样的切换频率并不重要，据说，拓扑学家宾（Bing）的习惯做法是将一个月分成两部分，用两周时间证明庞加莱猜想是正确的，用剩下的两周时间寻找反例。
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为什么要从事这种背道而驰的研究呢？采用这种做法有两个比较充分的理由。第一个理由是，我们有可能犯错误。如果一个说法其实是错误的，但我们却以为并尝试证明它是正确的，那么我们必将徒劳无功。如果利用白天以外的时间来反证，就可以避免耗费太多的时间与精力。
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第二个理由是，如果我们试图证明某个正确的观点或想法是错误的，那么我们必将失败。我们习惯于认为失败不是一件好事，但并不是所有的失败都是坏事，因为我们也可以从失败中学到一些东西。我们用一种方法证明某个说法是错误的，结果没成功，然后我们换另一种方法，结果再次遭遇失败。每一次失败的尝试都会让我们遇到一堵墙，如果运气好，这一堵堵墙会连成一片，关于该定理的正确证明方法就会呈现在我们面前。如果能够彻底地了解失败的原因，我们就很有可能从中发现该说法正确的原因。小波尔约没有接受父亲善意的建议，而是像很多前辈一样，持之以恒地尝试证明平行公设是由欧几里得的前4条公理推导而来的。他同样遭遇了失败，但不同的是，他对自己的失败理解得非常透彻。他在证明不符合平行假设的几何体并不存在时屡屡碰壁，正是因为这种几何体其实是存在的。每次失败之后，他都对这个本以为不存在的几何体的特征更加了解，直到最终看到它的庐山真面目。
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白天证明、晚上反证的做法不仅适用于数学，还可以对我们的社会、政治、科学与哲学理念施加压力。在白天时，尽可以相信自己的理念是正确的，但是到了晚上，则认真思考自己的理念是不是错误的。不要自欺欺人！尽管我们并不相信这些理念是错误的，在思考时也要尽可能地让自己相信它们是不正确的。如果我们无法摆脱现有理念的束缚，则说明我们对自己深信不疑的理由有了更深入的了解，离找到证明方法也就更近了一步。
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我在这里说句题外话。上面介绍的这种有益的脑力锻炼与斯科特·菲茨杰拉德所说的远不是一回事。1936年，菲茨杰拉德在散文《崩溃》（The Crack-Up）中描述了自己处于破产、无助的状态，表明了他的态度——相互矛盾的理念可以并存于头脑之中。当时，在他思想中相互矛盾的两个理念是“努力奋斗的徒劳感与奋力拼搏的必要性”。塞缪尔·贝克特（Samuel Beckett）的表达更加简洁：“我必将死去，但我还会继续活着。”菲茨杰拉德所谓的“一流的智力”，是对自己智力水平的否认。他认为，在矛盾的压力之下，他已经名存实亡，过着行尸走肉的生活。这样的命运与弗雷格的集合论，以及在库克悖论的侵扰下停止运行的机器人没有多少区别。（“家燕”乐队的《骑墙》这首歌中的另外两句歌词堪称《崩溃》的浓缩版本：“我从一开始就欺骗自己/我发现自己正在走向崩溃。”）菲茨杰拉德因为自我怀疑而气馁，继而萎靡不振，整天沉溺于写作与反省之中，西奥多·罗斯福最厌恶这种自艾自怜的文学青年。
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华莱士对悖论也充满兴趣。华莱士延续着自己在数学研究中的风格，将罗素悖论作为自己的第一部小说《命运的笤帚》（The Broom of the System）的主题。如果说他的创作动机源自与矛盾的抗争，这个说法可能有点儿过了。华莱士喜欢采用技术与分析的方法去抵御毒品、绝望以及荒谬的唯我论，但是他认为简简单单的宗教格言与自助书籍的效果更好。他非常清楚，作家在写作时应该站在其他人的立场上去思考问题，但是写作的主要目的则应该是揭示思想对自我的禁锢。他决心记录并消除先入为主的偏见给自己带来的影响，但是他也知道，一旦做出这个决定，其本身就是一种偏见，而且他会受到这些偏见的影响。毫无疑问，这是“哲学101”课程中所讨论的问题，但是数学系的学生都知道，我们在大学一年级遇到的某些老问题的内容非常深奥。华莱士与悖论之间的纠葛在数学研究中并不鲜见。我们认为两个假设似乎相互矛盾，于是我们开始研究它们。在大脑中同时装入相互矛盾的两个假设，按部就班地梳理矛盾，区分知识与理念，逐一审视这两个假设，直到最终发现真理，或者尽可能地接近真理。
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至于贝克特，他的矛盾观更加意味深长，这在他的作品中有所反映，而且充满感情色彩。“我必将死去，但我还会继续活着”，这句话让我们感受到他的心灰意冷。与此同时，贝克特也会运用毕达哥拉斯门徒证明2的平方根是无理数的方法，把它变成醉汉之间的玩笑。
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