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这个例子也可任意改动数据后用同样的方法求解。比如，如果是30位女孩，那么你应该从第11位女孩开始认真考虑终身大事[5]。
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图2-2 转向认真考虑婚姻选择的决策点
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这个例子也可以改成其他的版本，比如：在20层楼中，每层楼都放着一颗宝石，每颗宝石的大小不一。现在你从第一层开始上楼，每到一层楼你都可以决定要不要该层楼中的宝石。如果不要，不能回头。如果要，以后就不能再取。或者，有20位求职者，你希望尽可能雇用到最好的那位，但你对他们的面试机会只有一次。你应该如何才可以有最大的机会获得最大的那颗宝石（最好的那位求职者）？这个问题，据说是微软公司的面试题。但它的道理，与最大可能获得女孩的道理是一样的。
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由此还可引发出另外一重考虑：为什么在求职或演讲比赛之类的竞争场合，人们通常不愿作为第一个或前几个登台呢？而且越是好的越不愿意第一个登台呢？因为人们可能存在等一等、看一看的决策习惯，前几名往往只作为参照标准被评审人有意无意地放弃了[6]。
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不要被概率愚弄
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概率计算，是一项颇具挑战性的工作。事实上，大多数人都是概率方面的白痴。即使是一些数学专家犯错误也是常事。[7]专家尚且如此，普通大众被概率愚弄也就很正常了。下面是常见概率决策失误的例子。
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一种常见错误是，人们往往有夸大小样本代表性的倾向。阿克洛夫（G.Akerlof，2001年诺贝尔经济学奖得主）1991年的一篇文章中提到了这种现象：
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人们往往有夸大小样本代表性的倾向。
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让我们假定，你想买一辆新车，并从价格经济和使用寿命角度考虑决定买沃尔沃或萨帕。作为精明的买家，你阅读了《消费者调查》获取相关信息，发现大多数专家认为沃尔沃的机械性能更好，大多数读者认为沃尔沃有良好的维修记录。在这些信息的武装下，你准备下周就去和沃尔沃销售商谈判。然而，在这个周末你参加了一次聚会，和一个熟人谈起你的打算，他的反应是质疑和警告：“买沃尔沃！不会是开玩笑吧？我姐夫有一辆沃尔沃，先是计油器出问题，然后是后备箱出问题，再后来是变速器和离合器。最后，不到三年就把那辆车当废品卖掉了。”
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在这种情况下，你还会买沃尔沃吗？估计你会立即转向购买萨帕了。但是，仔细想想，你的朋友提供的信息，不过是在有关沃尔沃的大量样本信息中再加入一个样本信息而已，并不足以改变样本的平均值──也就是说，仅凭你朋友的一席话，并不足以改变原先支持你选择沃尔沃的理由。但是，现实中有多少人还能这样理性地思考呢？
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人们也常常犯下以总体特征来推断小样本特征的错误。
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类似地，人们也常常犯下以总体特征来推断小样本特征的错误。譬如许多人认为，一家医院中一年出生的小孩大致应该是男孩和女孩各占50%左右。事实上，很多小医院的出生性别比完全不是这样。一个城市的出生性别比可能是1：1，但这不等于在更小的单位也是如此。如果你不能理解小医院为什么通常不是1：1的性别比，那么你想想更小的单位，比如家庭，有多少家庭出生的小孩会是男孩女孩各占一半呢？读者有必要记住，小样本的特征不一定服从总体的特征，所以不能把总体的特征作为小样本特征的描述。当然，反过来也一样，小样本难以反映总体的情况，所以也不能把小样本特征当做总体特征。比如，不能看到几个没文化的人比几个有文化的人赚了更多的钱，就得出结论说文化程度高对提高经济收入并没有帮助。又比如，你不能因为看到一个无臂人用脚画画很好，就得出结论说要学好画画就要砍掉双手一样。可是现实中却有持这种逻辑的人。
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另一种常见的错误是人们常常忽略了随机事件的独立性，错误地把它们关联起来。比如掷硬币，每一次投掷出现正面或反面的概率都是0.5。也就是说，以前曾经出现过什么样的历史，对于下一次投掷的结果是没有影响的。考虑你现在参加投掷硬币的赌博游戏，每投掷一次赌注1元。已经投了9次结果都很“偶然”地出现了正面，现在面临第10次投掷，你应该选择押注正面还是反面？有不少人是这样想的，既然已经出现了9次正面，均匀的硬币要连续出现10次正面的概率太小了（这个概率为0.510=0.097 7%），因此下一次出现反面的概率应该很大。这样的决策，忽略了下一次投掷概率与历史无关的事实。只要硬币是均匀的，不管前9次结果如何，下一次正面和反面出现的概率均为0.5，所以你押注哪一面，胜负概率都一样。当然，这里还有另一种可能，那就是硬币不是均匀的，所以前面9次出现正面并不那么“偶然”，如此第10次还很有可能出现正面──你现在应该选择的就是正面，而不是像先前所思考的那样选择反面。
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人们常常忽略了随机事件的独立性，错误地把它们关联起来。
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这个赌硬币的例子和股票市场很类似。股票市场也充满了随机性。基本上有两种投资理念，一种认为股票价格完全随机，与业绩无关，这种情况下股票与均匀硬币本质上是一样的，股票价格的历史表现不足以作为决策的依据，因为未来价格与历史价格无关；另一种观点认为，股票的长期业绩较好，很可能表明股票存在内在价值支撑，这就与非均匀材质的硬币一样，按照这样的理念，那么过去业绩表现较好的，在未来也更有可能表现出较好的业绩。这两类观点究竟哪一类更符合股票市场的现实？现在似乎还没有研究可以将它们检验出来。但是通过一些仿真实验可以明白的是，存在大量均匀和非均匀的硬币不断投掷，比如经过30轮投掷，能够保持30次都在正面的硬币仍然存在[8]，而这些硬币也并不完全是非均匀的硬币，这表明可能部分股票的业绩确实有内在支撑，但也有些股票业绩良好可能仅仅是偶然因素。
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很多人不善于从结果去推断信息，以至于过度夸大了某些后果的严重性。
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还有一种经常犯错误的情况是很多人不善于从结果去推断信息，以至于过度夸大了某些后果的严重性。我太太的一个朋友怀了小孩，因高龄怀孕担心胎儿的健康做了唐氏筛查。唐氏综合征俗称先天性痴呆，是最常见的一种染色体疾病。怀孕年龄越大，胎儿患此病的概率越高，按照年龄段来看这位朋友胎儿患此病的概率为0.13%。如果胎儿确实患有此病，则唐氏筛查有80%的可能性会查出来（也就是有20%的可能性查不出，但胎儿实际上是患病的）；如果胎儿未患此病，则不会查出异常。这位朋友不放心去做了筛查，结果没什么问题，但她反而更担心了。我太太说，没检查出问题不是很好吗，可以放心了；她却说，还是有20%的可能性患病啊，只是没有查出来啊。我太太的数学很差，听她这样说也懵了，但又觉得不对劲，回来问我，为什么检查无恙之后，患病的概率反而提高了？我一听就觉得好笑：她们是先验地假定胎儿已经患上唐氏综合征，所以才会认为未检查出病状有20%的患病概率；事实上，胎儿患病的概率仅为0.13%，检查后未发现异常而胎儿患病的概率应是（0.13%×20%）/（0.13%×20%+99.87%×100%）=0.026%，比未检查时的0.13%概率降低了约80%。
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也许聪明的读者会觉得这些失误太明显了，自己不会犯这样的错误。那么请你看看下面这则报道是否存在问题。有一份关于中国吸烟与健康的研究报告写道：“吸烟与肺癌发生的关系已为众多的实验研究以及多个设计严格的大宗人群研究所证实。约80%以上的肺癌与吸烟（包括被动吸烟）有关。”读完这话，你是不是觉得吸烟很可能导致患肺癌（即认为吸烟是一个严重损害健康的问题）？吸烟几乎就是肺癌的罪魁？如果你认为是，不妨继续往下看。
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我国约有36%的烟民；肺癌发病率（缺乏中国数据，以世界数据0.333%代替）；肺癌患者80%是烟民或被动吸烟者，即是说肺癌患者中还有20%是非吸烟者；为了让不太熟悉概率的读者能够理解，我不妨假设肺癌患者共100名，其中80名是为烟民或被动吸烟者，20名是非吸烟者。那么我们据此可推算社会总体人口为100/（0.333%）=30 030人，其中烟民为30 030（36%）=10811人，被动吸烟者的频率不知，姑且假设为X人，那么吸烟者（包括烟民和被动吸烟者）致癌的概率为80/（10 811+X）。非吸烟者的致癌概率为20/（30 030-10 811-X）。稍加计算就可以知道，除非被动吸烟者数量X＜13 213，或被动吸烟者比例小于44%，吸烟者患癌症的概率才会超过非吸烟者患癌症的概率。在缺乏被动吸烟者比例的情况下，我们无法推断出吸烟对癌症究竟有多大影响。
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不过，这份报告披露了我国男性吸烟率为66%，女性吸烟率为3.1%；而男性肺癌发病率为0.355%，女性为0.312%。而一个社会男女性别比基本上为1：1，则按照我们前面的假设，100个肺癌患者中，大约有100[0.355/（0.355+0.312）]=53人为男性，有100-53=47人为女性。社会中男女基本上相等意味着这个社会分别有30 030（0.5）=15 015个男性和女性。两个人口总量相等、烟民结构完全不同（一个有过半烟民，一个只有少数烟民）的群体，肺癌发病率和发病人数竟然如此接近，这能说明吸烟是肺癌的发病罪魁吗？
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我应当承认，在上述两段推理中，在某些地方我用世界数据来代替中国数据（因为找不到中国数据），可能存在偏差。不过我的本意不在为吸烟致癌翻案，所以问题不算严重。我只是想借此说明，在对公众发布信息的时候，应尽量提供背景信息，以免误导公众；更不能有意隐瞒关键信息，利用公众缺乏概率推断能力而有意误导公众。同时也说明，如果读者能多掌握一点概率推断的知识，就会更少地受到媒体的欺骗。
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[1]在美国俚语中，鸡崽（chicken）被用于表示胆怯者、懦夫，而笨驴（donkey）则表示蠢人。
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[2]事实上，来自心理学和行为经济学的研究已表明，对于同等价值的物品，人们失去它而损失掉的效用会超过拥有它而获得的效用，前者基本上是后者的两倍。即失去的比得到的更觉珍贵，失去100元带来的痛苦将是得到100元带来的快乐的两倍。
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