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[3]当然，读者是女孩也可以。我没有任何歧视女孩的意思，模型中的男女性别假设完全可以互换。
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[4]本例的Mathematica文件或Excel计算表可在作者主页www.cnobel.com下载，文件名分别为Table2.2.nb和Table2.2.xls。
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[5]当然还可以对例子进一步一般化，假设有X＞1个女孩。那么，从第n个女孩开始认真考虑，则获得最好女孩的概率为：
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上式有一个近似计算方法：当X比较大的时候，，此函数为凹，求n的一阶条件得到最优解n*=1+X/e，代入Prob（n），有Prob（n*这个解表明，不管女孩数量是多少，只要数量足够多，获得最好女孩的最大概率都近似为0.368。与我们精确计算略有差异。
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[6]但是参加比赛毕竟与选择女朋友不同。评委的心理往往导致两类偏差会影响公正评价。一类是记忆偏差，另一类是直接比较偏差。这两种偏差导致首先登场的选手比第二、第三登场的选手会得到更高的评价，但是出场顺序更后的选手，也有很大的优势获得更高的评价。Lionel Page和Katie Page的论文”Biases in sequential performance evaluation， a field study on the idol series”利用8个国家的大众偶像评选活动（如“美国偶像”之类的活动）的数据，表明了这样的结果。当你准备面晤或接到工作面试通知，并且询问你愿意安排在什么时间时，你应该选择安排在什么位置呢？两位Page的研究表明：你应尽量安排在最后。
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[7]可参阅Paul Hoffman， The Man Loved Only Numbers（New York：Hyperion，1998）第233～240页，本书讲到了几个概率论专家，包括才华横溢、著作等身的数学家保罗·厄多斯（Paul Erdös），他们算错了一个很简单的概率题，跟他们解释后竟然还不知道自己的错误。
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[8]以概率而论，任何1枚硬币要连续30次正面向上的概率（0.530）接近0，但是如果有100万枚硬币参加投掷，则30轮后至少有1枚硬币连续30次正面向上的概率约为9.3%（再考虑有2枚、3枚……等情况，则概率超过9.3%）；如果是1 000万枚硬币，则约为92.7%（几乎是肯定的了）。
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无知的博弈：有限信息下的生存智慧 面对不确定性的制胜策略
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有些游戏，虽然参加者不止一个人，存在好几个利益冲突的博弈方。但是，博弈的结果很大程度上将依赖于“运气”而不是互动策略的考量，此时的博弈问题，实际上仍可看做不确定性环境的单人概率决策问题。参与人的出招关键是找出最有可能制胜的策略。
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俄罗斯轮盘：谁都没有优势
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俄罗斯轮盘（Russian roulette）是一个非常残酷的赌博游戏。经典的俄罗斯轮盘赌游戏如同电影《猎鹿者》（The Deer Hunter，1978）中所描述的虐待战俘的方法：在一支可装六发子弹的左轮手枪里，只放一颗子弹，随机地一转后，要求两名战俘轮流用手枪对准自己的头部发射，直到一名战俘中枪，另一名战俘才逃过一劫。
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这种残酷游戏据说最早可以追溯到克里米亚半岛，不过真正流行还是在第一次世界大战期间。当时，白天打了败仗的沙俄军官和士兵到了夜里便借酒浇愁，于是“俄罗斯轮盘赌”便成了最好的“助兴”节目。虽然屡屡有人惨死在枪下，但是这种惊险刺激的游戏却在俄罗斯越来越流行，甚至赢得了“俄罗斯轮盘赌”的“美名”。
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不过，我在这里要问的问题是：这样的游戏对于先发者或者后发者是否会更有利或更不利呢？我曾把这个问题贴在人大经济论坛（www.pinggu.org/bbs），既有网友认为先发者更有利，也有网友认为后发者更有利。
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而实际上，这是一个纯粹凭运气的博弈。子弹装上再一转之后，子弹的位置就已经固定下来，因而究竟是先发者死亡还是后发者死亡也就确定下来。如果子弹正好在1、3、5的位置，则先发者将死亡；如果子弹在2、4、6的位置，则后发者死亡。而子弹进入1、3、5以及进入2、4、6的概率各为1/2。因此，先发者和后发者的死亡概率均为1/2，并不存在先发优势或后发优势。[1]
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当然，可能确有始终被运气眷顾的人，比如英国作家格雷厄姆·格林。他曾对俄罗斯轮盘赌乐此不疲，认为这是一剂解乏的“良药”。年轻时他曾对未婚妻这样写道：“以这样的方式自杀实在太刺激了。”后来他承认当自己在大学念书的时候，夜深人静时常在宿舍里玩这种游戏。令人惊奇的是，他自己如履薄冰地幸运活了下来，而他的同伴中却屡屡有人死于非命。
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回头再讨论一下人们对俄罗斯轮盘中的概率的看法。不少网友竟然认为这当中存在先发优势或后发优势──这让我想到生活中的抓阄。比如，有一份不可分割的物品，需要分配给5个人，为保证公平采用抓阄的方式确定谁将得到这份物品。五个信封中只有一个信封内的纸片上写着获得该物品。不少人以为先抓阄和后抓阄可能面临不同的机会。但是，真的是这样吗？
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一个博弈论专家的教训
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俄罗斯轮盘赌中的胜负纯粹依靠运气。但是在另一场轮盘赌中，一个博弈论专家本可稳操胜券，却因为未曾细想其策略而满盘皆输。
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巴里·奈尔伯夫（Barry Nalbuff）是一个博弈论经济学家。他与迪克西特合作的《策略思维》是一本非常著名的博弈论科普之作。在那本书中记录了巴里的一次深刻教训。话说当年巴里为了庆祝大学毕业，参加了剑桥大学的五月舞会。庆祝活动的一部分包括在一个赌场下注。每人都得到相当于20美元的筹码，截至舞会结束时候，收获最多的一位将免费获得下一年度舞会的入场券。到了最后一轮轮盘赌的时候，纯粹是出于一个令人愉快的巧合，巴里手中已经拥有了相当于700美元的筹码，独占鳌头。第二名是一位拥有300美元筹码的英国女子。其他参与者实际上已经被淘汰出局。该女子提出与巴里分享下一年的入场券，但是巴里拒绝了。是的，自己占有绝对的优势，怎么可能满足于得到一般的奖赏呢？
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为了理解接下来的策略，有必要交代一下轮盘赌的规则。典型的轮盘赌是轮盘上刻有37个数字，标记为0～36。轮盘赌的输赢取决于轮盘停止转动时小球落在哪一格。假如小球落在0处，就算庄家赢。轮盘赌最可靠的玩法就是赌小球落在偶数还是奇数。这种玩法的赔率是一赔一，比如1美元赌注变成2美元，不过取胜的机会只有18/37（37个格中除了0外只有18个偶数，或18个奇数）。采取这样一种玩法，即使该女子押上全部300美元筹码也不能稳操胜券。因此她被迫选择一种风险更大的玩法，她把全部的筹码押在小球落在3的倍数上。这种玩法的赔率是二赔一（若她赢了，则她的300美元将变成900美元），但取胜的机会只有12/37（37格中除0外有12个数字是3的倍数）。
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现在，那名女子已经将她的筹码摆上桌面，表示已经下注，不能反悔。那么巴里应该怎么办呢？
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