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3.点球大战
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在足球比赛中，在比赛必须分出胜负的情况下（例如各种一场决胜负的杯赛），如果双方在经过90分钟激战和加时赛（有时不进行加时赛）仍然无法分出胜负，采取的是以互罚点球决胜负的残酷方法，这就称为点球大战。
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点球大战开始后，双方各自先确定本队罚点球的球员顺序，然后双方依确定好的顺序将各自罚点球的前5名球员派出参加第1轮的点球互罚。5轮之后如果分出了胜负，那么点球大战结束，全场比赛结束；假如5轮过后双方仍为平手，那么就接着进行点球互罚，双方依次派出1名球员罚点球，直到分出胜负为止。
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在每一次射门时，攻方的策略是：攻左边，或攻右边。守方的策略是：守左边，或守右边（以守方的方向为准）（见表13.1）。
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表13.1 点球大战
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不难看出，在这个博弈中，以上的4个结局都不是纳什均衡，也就是说这个博弈并没有一个纯策略的纳什均衡，只有一个混合策略的纳什均衡。
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用博弈的思维看世界 [:1701032808]
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用博弈的思维看世界 二、若干实例分析
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1.仁慈的教授
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在大学里面，考试失误是个非常普遍的现象。其实，很多教授是很仁慈的，在学生的再三恳求下，他们会放过这些可怜的学生们。但是事实上，他们想放过的仅仅是平时认真但是在最后的考试中发挥失利的同学。对于那种天天不听讲、只打游戏、不务正业的学生，教授当然想给他们一个不及格，让他们从中吸取教训，以后能够努力学习（见表13.2）。
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表13.2 仁慈的教授
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很显然，如果教授知道张三平时是勤快的，教授一定会放过张三。但是，如果张三预先知道了教授会放过自己，张三会选择平时偷懒，因为平时偷懒的收益更大。双方博弈的结果是：如果张三平时偷懒，教授选择不放过；如果教授选择不放过，张三选择平时勤快；如果张三选择平时勤快，教授选择放过；如果教授选择放过，张三选择平时偷懒。于是，这个博弈中的4个结果都不是均衡的结果。对此，我们可以按照概率的思想去思考。试想，教授如果认为张三有20%的可能性是勤快的，有80%的可能性是懒惰的，那么教授放过他的收益为：3×0.2-1×0.8＝-0.2。教授不放过他的收益为：-1×0.2＋0×0.8＝-0.2。
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通过计算表明，是否放过张三对教授来说是一样的（期望收益一样，因为已经涉及了概率的问题，只能计算期望收益）。因此，如果张三偷懒的可能大于80%，教授一定不会放过他；如果张三偷懒的可能小于80%（勤快的概率大于20%），教授一定会选择放过他。
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同理，对张三来说，如果他认为教授放过他的可能为50%，不放过他的可能为50%，那么，他选择懒惰的期望收益为：3×0.5＋0×0.5＝-1.5。他选择勤快的期望收益为：2×0.5＋1×0.5＝-1.5。
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此时对张三来说，选择勤快和选择懒惰的期望收益相同。那么在张三看来，当教授会放过自己的概率大于50%，就选择平时偷懒，小于50%就选择平时勤快。由此，不难发现这个博弈的混合策略的均衡结构就是张三以80%的可能性懒惰，20%的可能性勤快；教授50%的可能性会放过，50%的可能性不放过。
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这个博弈还可以用函数图像来理解。
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根据以上的总结：设教授放过的可能性为θ，张三勤快的可能性为λ。
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由此我们可以描出函数图像（见图13-1）。
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