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你也可以对第一章开头提到的所谓“1924届耶鲁毕业生的高收入”考究一番，他们究竟用的是哪一种平均数？
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统计数据会说谎：让你远离数据陷阱 [:1701039013]
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统计数据会说谎：让你远离数据陷阱
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统计数据会说谎：让你远离数据陷阱
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报纸上大字标题历历在目：用户反映，使用多克斯牙膏后蛀牙减少了23%！你也不想遭受这23%的痛苦，所以你继续往下读。接着你发现，这个结论来自某个“独立”实验室，并且还附有注册会计师的证明。你还有什么不放心的吗？
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但显而易见，你不是一个容易上当受骗的人，也并非过于乐观，你的经验告诉你——某种牙膏不会比其他牙膏好很多。那么，多克斯公司的人是怎么得出这个结论的？他们明目张胆地说谎并且还能得逞吗？不，他们不必说谎，还有更简单、更有效的方法。
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这个例子中主要的技巧在于使用了有限的样本——也就是说数据不够充分，但对多克斯公司的人来说却是恰到好处。如果你看见小字印刷的部分，你会发现参加测试的用户仅有12人。（你还得感谢多克斯公司给了你这个冒险的机会。有些广告商会直接略去这些信息，就连最资深的统计学家也猜不透他们到底使用的是哪种诡计。多克斯公司使用的12人样本还不算太糟。几年前，市场上出现过一种“科尼斯博士”牌的牙粉，该产品声称“在治疗龋齿方面效果显著”。该产品中含有尿素，实验证明尿素对治疗龋齿的确有效。但是，这个实验的结果先入为主，而且只做了6个个案测试，这使得整个实验成了一个无稽之谈。）
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但是让我们回过头看看，多克斯公司如何轻而易举地就做出了一个毫无破绽的大字标题，还附有权威证明。让一个小组的人数清自己的蛀牙数量，然后坚持在6个月内使用多克斯牙膏，这必然会出现下列三种情况的其中之一：蛀牙明显增多、明显减少和没有变化。如果得出第一种或第三种结果，多克斯公司就要把这个数据归档（放到看不见的某个地方），然后接着实验。在机缘巧合之下，他们迟早都会得出一个重大成果，这个成果值得登报，甚至用整版广告刊出。无论测试者使用的是多克斯牙膏或是小苏打，哪怕用的还是他们以前的洁牙剂，都会出现这个结果。
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使用规模较小的实验小组的关键意义在于：如果实验组的规模过大，那么碰巧之下产生的结果会是微不足道的，甚至不值得用大字标题刊出。试想一个只减少了2%蛀牙的牙膏销量能有多好？
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在样本规模很小的情况下，怎样才能在巧合之下得出一个说明不了任何问题的结果？你可以亲自动手做一个花费无几的小实验来验证一下。抛出一个硬币，有几次它落地时会头像朝上？大家都知道，这个概率当然是50%。
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那么，让我们来检验一下。刚才我抛了10次硬币，其中有8次头像朝上，这证明了抛硬币时头像朝上的可能性会有80%。好吧，牙膏的统计数据也是如此。现在，你自己试试。你也许会得到一个一半对一半的结果，也许你不会；你的结果很可能像我的一样，远非一半对一半这么简单。但如果你有足够耐心能抛上1 000次硬币，你多半（尽管不一定）就能得出一个非常接近50%的结果——这个结果才是最真实的概率。只有试验的样本数目足够庞大时，平均数定律才会是一个有用的描述或猜测。
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那么，多少样本就够了呢？这个问题很微妙。这取决于你抽样研究的样本人数和种类。而且有时，样本中单位的数量看上去已经很多，但实际却不足。
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这有一个很好的例子来证明这个结论，这个例子与几年前的小儿麻痹疫苗试验有关。这个试验的规模非常大，几乎与医学实验的规模相当：一个地区的450名儿童注射了小儿麻痹疫苗，另有680名儿童作为对照没有接受注射。不久之后，该地区出现了传染病。注射过疫苗的儿童中没有一个患上小儿麻痹症。
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但是，对照组中也没有儿童患病。在设立这个实验项目时，实验者忽视或者假装不知道一个事实——小儿麻痹症的发病率很低。在一般情况下，这么大规模的群体中只可能出现两例患病者。因此，从一开始这个实验就注定毫无意义。如果想获得任何有意义的结论，实验组需要用比这个群体多15~20倍的儿童做样本。
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许许多多转瞬即逝的医学发现都是这样产生的。正如一位医师所说：“赶紧使用新的方法，要不就迟了。”
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这种情况并非医学界独有。由于受到的公众压力过大且新闻报道过于草率，医学治疗经常未经证实就被报道，尤其是在公众需求很大而且数据背景模糊不清时。曾一度非常流行的流感疫苗和最近的抗组胺剂便是如此。许多无法治本的“治疗措施”很快就被广泛使用，但事实上，他们连疾病的原理都还没弄清楚，也缺乏一定的逻辑。其实，如果时间足够，一场感冒自己就会痊愈。
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