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图3
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地图着色问题同一笔画问题一样,也具有“拓扑”特性:它与度量(区域的面积、边界线的长度等)和形状都没有关系,关键是区域的个数和它们的邻接关系;地图经过变形(缩放或作各种投影)所需颜色数不变.
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Euler多面体定理
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这是立体几何中的一个有名的定理:凸多面体的面数f,棱数l和顶点数v满足Euler公式
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f-l+v=2.
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表面上看,似乎它和一笔画、地图着色问题不一样,凸多面体是平直图形,不能随意变形.但只要对Euler多面体定理稍加推广,就可看出它的“拓扑”特性了.
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图4
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把多面体放进一个大球体内,使球心在多面体内部.于是,从球心作的中心投影把凸多面体的棱映射成球面上的曲线(实际上是大圆弧),顶点映成球面上的点.这些点和大圆弧构成球面上的一个图(网络)(图4),它把球面分割成f块,有l条枝(大圆弧)和v个节点.
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一般地,球面上的图是由球面上有限个点(称为节点)和有限条曲线(称为枝)所构成的图形,它必须满足:
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(1)每条枝的端点是两个不同节点;
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(2)不同的枝不交叉,即不相交于内点;
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(3)每条枝不自交.
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Euler定理可以推广为
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定理1 球面上一个连通的图的节点数v,枝数l以及它分割球面所成的面块数f满足公式
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f-l+v=2.
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这种推广了的Euler定理具有拓扑特性:一方面,当图在球面上变形时,f,l和v这3个数不会变化;另一方面,当球面本身变形时(其上图也随着变形)f,l和v也不会变化.球面可以变形为椭球面、葫芦形或其他各种形状的曲面,对这些曲面定理l照样成立.但有的曲面不能由球面变形而得到,例如环面.事实上定理1对环面不适用,相应的定理为
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定理2 环面上一个连通图若分割环面成一些简单面块(即没有洞的面块),则面块数f,图的枝数l和节点数v满足公式
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f-l+v=0.
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对于更复杂一些的曲面,f-l+v是个负数.以上的事实说明整数f-l+v与曲面上(适合条件的)图的选择无关,完全由曲面本身决定.这个数被称为曲面的Euler数,它反映出曲面的一种几何性质,当曲面被变形时,它是不会改变的.
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以上几个问题显示出几何图形的一类特别的几何性质,它们涉及到图形在整体结构上的特性,这就是“拓扑性质”.显然,它们与几何图形的大小、形状,以及所含线段的曲直等等都无关,也就不能用普通的几何方法来处理,需要有一种新的几何学来研究它们,这个新学科就是拓扑学(希文Topology的译音).也有人形象地称它为橡皮几何学,因为它研究的性质在图形作弹性形变时是不会改变的.
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现在我们对拓扑性质作进一步的分析.如前所述,既然拓扑性质体现的是图形整体结构上的特性,可以随意地把图形作变形(如挤压、拉伸或扭曲等等),只要不把它撕裂,不发生粘连,从而不破坏其整体结构,拓扑性质将保持不变.把上述变形称为图形的“拓扑变换”,那么拓扑性质就是几何图形在作拓扑变换时保持不变的性质.拓扑变换可用集合与映射的语言给出确切的描述.把图形M变形为M′,就是给出M到M′(都看作点集)的一个一一对应(因而不出现重叠现象,并不产生新点)f:M→M′,并且f连续(表示不撕裂),f-1:M′→M也连续(表示不粘连).这里所说的连续就是分析学中的连续概念,可用距离概念刻画.简单地说:从图形M到M′的一个一一对应f,如果f与f-1都是连续的,就称f为从M到M′的一个拓扑变换,并称M与M′是同胚的.于是,拓扑性质也就是同胚的图形所共同具有的几何性质.拓扑学中往往对同胚的图形不加区别,因为它们的拓扑性质是一样的.
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上面从拓扑变换或同胚概念来描述拓扑性质.反过来拓扑性质又是研究图形同胚问题的一个有力武器.判断两个图形是否同胚,这自然是拓扑学的一个基本问题.如果能构造从M到M′的拓扑变换,当然M与M′同胚,可是当经过努力而构造不出拓扑变换时,我们并不能由此认定M与M′不同胚.断定不同胚的有效途径是比较它们的拓扑性质,如果它们有不相同的拓扑性质,则它们一定不同胚.例如日字形和田字形不同胚,因为前者能一笔写出,后者不能.又如球面与环面的Euler数不相等,因此它们不同胚.因此,寻找和研究图形的各种各样的拓扑性质是拓扑学的基本的研究课题.
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