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图3
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地图着色问题同一笔画问题一样，也具有“拓扑”特性：它与度量（区域的面积、边界线的长度等）和形状都没有关系，关键是区域的个数和它们的邻接关系；地图经过变形（缩放或作各种投影）所需颜色数不变．
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Euler多面体定理
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这是立体几何中的一个有名的定理：凸多面体的面数f，棱数l和顶点数v满足Euler公式
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f－l＋v＝2．
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表面上看，似乎它和一笔画、地图着色问题不一样，凸多面体是平直图形，不能随意变形．但只要对Euler多面体定理稍加推广，就可看出它的“拓扑”特性了．
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图4
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把多面体放进一个大球体内，使球心在多面体内部．于是，从球心作的中心投影把凸多面体的棱映射成球面上的曲线（实际上是大圆弧），顶点映成球面上的点．这些点和大圆弧构成球面上的一个图（网络）（图4），它把球面分割成f块，有l条枝（大圆弧）和v个节点．
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一般地，球面上的图是由球面上有限个点（称为节点）和有限条曲线（称为枝）所构成的图形，它必须满足：
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（1）每条枝的端点是两个不同节点；
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（2）不同的枝不交叉，即不相交于内点；
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（3）每条枝不自交．
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Euler定理可以推广为
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定理1 球面上一个连通的图的节点数v，枝数l以及它分割球面所成的面块数f满足公式
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f－l＋v＝2．
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这种推广了的Euler定理具有拓扑特性：一方面，当图在球面上变形时，f，l和v这3个数不会变化；另一方面，当球面本身变形时（其上图也随着变形）f，l和v也不会变化．球面可以变形为椭球面、葫芦形或其他各种形状的曲面，对这些曲面定理l照样成立．但有的曲面不能由球面变形而得到，例如环面．事实上定理1对环面不适用，相应的定理为
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定理2 环面上一个连通图若分割环面成一些简单面块（即没有洞的面块），则面块数f，图的枝数l和节点数v满足公式
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f－l＋v＝0．
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对于更复杂一些的曲面，f－l＋v是个负数．以上的事实说明整数f－l＋v与曲面上（适合条件的）图的选择无关，完全由曲面本身决定．这个数被称为曲面的Euler数，它反映出曲面的一种几何性质，当曲面被变形时，它是不会改变的．
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以上几个问题显示出几何图形的一类特别的几何性质，它们涉及到图形在整体结构上的特性，这就是“拓扑性质”．显然，它们与几何图形的大小、形状，以及所含线段的曲直等等都无关，也就不能用普通的几何方法来处理，需要有一种新的几何学来研究它们，这个新学科就是拓扑学（希文Topology的译音）．也有人形象地称它为橡皮几何学，因为它研究的性质在图形作弹性形变时是不会改变的．
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现在我们对拓扑性质作进一步的分析．如前所述，既然拓扑性质体现的是图形整体结构上的特性，可以随意地把图形作变形（如挤压、拉伸或扭曲等等），只要不把它撕裂，不发生粘连，从而不破坏其整体结构，拓扑性质将保持不变．把上述变形称为图形的“拓扑变换”，那么拓扑性质就是几何图形在作拓扑变换时保持不变的性质．拓扑变换可用集合与映射的语言给出确切的描述．把图形M变形为M′，就是给出M到M′（都看作点集）的一个一一对应（因而不出现重叠现象，并不产生新点）f：M→M′，并且f连续（表示不撕裂），f-1：M′→M也连续（表示不粘连）．这里所说的连续就是分析学中的连续概念，可用距离概念刻画．简单地说：从图形M到M′的一个一一对应f，如果f与f-1都是连续的，就称f为从M到M′的一个拓扑变换，并称M与M′是同胚的．于是，拓扑性质也就是同胚的图形所共同具有的几何性质．拓扑学中往往对同胚的图形不加区别，因为它们的拓扑性质是一样的．
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上面从拓扑变换或同胚概念来描述拓扑性质．反过来拓扑性质又是研究图形同胚问题的一个有力武器．判断两个图形是否同胚，这自然是拓扑学的一个基本问题．如果能构造从M到M′的拓扑变换，当然M与M′同胚，可是当经过努力而构造不出拓扑变换时，我们并不能由此认定M与M′不同胚．断定不同胚的有效途径是比较它们的拓扑性质，如果它们有不相同的拓扑性质，则它们一定不同胚．例如日字形和田字形不同胚，因为前者能一笔写出，后者不能．又如球面与环面的Euler数不相等，因此它们不同胚．因此，寻找和研究图形的各种各样的拓扑性质是拓扑学的基本的研究课题．
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