1701040431
规定拓扑变换时,映射的连续性是关键概念,因而它也是整个拓扑学的基本概念.也可以说拓扑学是研究连续现象的数学分支.连续性也是分析学的最基本的概念,因而拓扑学和分析学有着十分密切的关系.拓扑学的概念、结果和方法广泛地应用到分析学的各个领域中.特别是分析学中只和连续概念相关(而与可微性无关)的那些问题本质上都是拓扑问题.著名的Brouwer不动点定理就是其中的一个例子.把n维欧氏空间En中的子集
1701040432
1701040433
1701040434
1701040435
1701040436
称为n维单位球体.Brouwer定理说:Dn到自身的连续映射f:Dn→Dn一定有不动点,即存在点x∈Dn,使得f(x)=x.当n=1时,不难用闭区间上连续函数的性质证明此定理(请读者自己证明).当n≥2时,就不容易了.由于定理中f只是连续的,因此分析学中与微分有关的工具都不能直接用上.本书中将用基本群和同调群作为工具给出它的证明.
1701040437
1701040438
另一个例子是Jordan曲线定理.简略地讲,该定理说平面(或球面)被它上面的一条简单闭曲线分割为两部分.这是一个应用广泛的著名定理,直观上容易接受,仿佛是不证自明的.但仔细想想,会发现它并不简单.首先定理怎样用严谨的数学语言叙述?为此必须用到拓扑学的术语,如简单闭曲线就是与圆周同胚的图形,它在几何上可以是相当复杂的;所谓“被分割为两部分”,则要用拓扑概念“连通”来严格叙述.定理不但需要证明,并且还不是三言两语所能完成的.我们在本书的第四章中将以基本群为工具给出它的一个证明.
1701040439
1701040440
随着学习的深入,读者还将见到许多有趣的应用拓扑学解决分析学问题的例子.拓扑学与微分几何、动力系统等学科也都有着十分密切的联系.
1701040441
1701040442
拓扑学是一门年青而富有生命力的学科.它萌发于17、18世纪,但到19世纪末才开始得到发展.本世纪以来,拓扑学是数学中发展最迅猛,研究成果最丰富的研究领域,成为十分重要的数学基础学科.拓扑学有多个研究方向,早期分为一般拓扑学和代数拓扑学,后来又出现了微分拓扑学和低维流形等研究方向.本书是代数拓扑学的入门教材,重点是介绍代数拓扑学中最简单的内容和一些基础知识.但我们也需要介绍拓扑空间和连续映射等最基础的拓扑学概念.如前所述,拓扑学是用抽象的语言和公理化的方式来阐述其概念的.特别是广泛使用集合论的语言.我们希望读者先要有较好的有关集合论的基础知识.下面择要介绍本书中最常用的有关集合与映射的概念和性质,既为学习正文作准备,也是为了统一术语和符号.
1701040443
1701040444
1.集合的运算
1701040445
1701040446
常用记号
1701040447
1701040448
设X是非空集合,记2X是X的全体子集(包括X及空集∅)的集合,称为X的幂集.
1701040449
1701040450
一点x构成的集合记作{x}.
1701040451
1701040452
x∈A表示x是集合A中的一个元素.
1701040453
1701040454
1701040455
1701040456
(或xA)表示x不是集合A的元素.
1701040457
1701040458
A⊂B表示A包含于B(含A=B的情形).
1701040459
1701040460
A⊄B表示A不包含于B,即A中有不属于B的元素.
1701040461
1701040462
现在列出2X中的几种运算及它们的性质.
1701040463
1701040464
1701040465
交∩ 如A∩B是A和B之交;表示集合族{Aλ|λ∈Λ}中所有集合之交.
1701040466
1701040467
1701040468
并∪ 如A∪B是A和B之并;表示集合族{Aλ|λ∈Λ}中所有集合之并.
1701040469
1701040470
交并运算各自都满足交换律与结合律.
1701040471
1701040472
交与并有分配律:
1701040473
1701040474
1701040475
(1)
1701040476
1701040477
1701040478
(2)
1701040479
1701040480
差 AB表示属于A而不属于B的元素的集合.
[
上一页 ]
[ :1.701040431e+09 ]
[
下一页 ]