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规定拓扑变换时，映射的连续性是关键概念，因而它也是整个拓扑学的基本概念．也可以说拓扑学是研究连续现象的数学分支．连续性也是分析学的最基本的概念，因而拓扑学和分析学有着十分密切的关系．拓扑学的概念、结果和方法广泛地应用到分析学的各个领域中．特别是分析学中只和连续概念相关（而与可微性无关）的那些问题本质上都是拓扑问题．著名的Brouwer不动点定理就是其中的一个例子．把n维欧氏空间En中的子集
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称为n维单位球体．Brouwer定理说：Dn到自身的连续映射f：Dn→Dn一定有不动点，即存在点x∈Dn，使得f（x）＝x．当n＝1时，不难用闭区间上连续函数的性质证明此定理（请读者自己证明）．当n≥2时，就不容易了．由于定理中f只是连续的，因此分析学中与微分有关的工具都不能直接用上．本书中将用基本群和同调群作为工具给出它的证明．
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另一个例子是Jordan曲线定理．简略地讲，该定理说平面（或球面）被它上面的一条简单闭曲线分割为两部分．这是一个应用广泛的著名定理，直观上容易接受，仿佛是不证自明的．但仔细想想，会发现它并不简单．首先定理怎样用严谨的数学语言叙述？为此必须用到拓扑学的术语，如简单闭曲线就是与圆周同胚的图形，它在几何上可以是相当复杂的；所谓“被分割为两部分”，则要用拓扑概念“连通”来严格叙述．定理不但需要证明，并且还不是三言两语所能完成的．我们在本书的第四章中将以基本群为工具给出它的一个证明．
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随着学习的深入，读者还将见到许多有趣的应用拓扑学解决分析学问题的例子．拓扑学与微分几何、动力系统等学科也都有着十分密切的联系．
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拓扑学是一门年青而富有生命力的学科．它萌发于17、18世纪，但到19世纪末才开始得到发展．本世纪以来，拓扑学是数学中发展最迅猛，研究成果最丰富的研究领域，成为十分重要的数学基础学科．拓扑学有多个研究方向，早期分为一般拓扑学和代数拓扑学，后来又出现了微分拓扑学和低维流形等研究方向．本书是代数拓扑学的入门教材，重点是介绍代数拓扑学中最简单的内容和一些基础知识．但我们也需要介绍拓扑空间和连续映射等最基础的拓扑学概念．如前所述，拓扑学是用抽象的语言和公理化的方式来阐述其概念的．特别是广泛使用集合论的语言．我们希望读者先要有较好的有关集合论的基础知识．下面择要介绍本书中最常用的有关集合与映射的概念和性质，既为学习正文作准备，也是为了统一术语和符号．
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1．集合的运算
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常用记号
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设X是非空集合，记2X是X的全体子集（包括X及空集∅）的集合，称为X的幂集．
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一点x构成的集合记作｛x｝．
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x∈A表示x是集合A中的一个元素．
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（或xA）表示x不是集合A的元素．
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A⊂B表示A包含于B（含A＝B的情形）．
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A⊄B表示A不包含于B，即A中有不属于B的元素．
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现在列出2X中的几种运算及它们的性质．
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交∩ 如A∩B是A和B之交；表示集合族｛Aλ｜λ∈Λ｝中所有集合之交．
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并∪ 如A∪B是A和B之并；表示集合族｛Aλ｜λ∈Λ｝中所有集合之并．
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交并运算各自都满足交换律与结合律．
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交与并有分配律：
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（1）
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（2）
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差 AB表示属于A而不属于B的元素的集合．