打字猴:1.70104055e+09
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1701040551 为X1与X2的笛卡儿积.称x和y为(x,y)的坐标.
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1701040553 n个集合的笛卡儿积X1×X2×…×Xn可类似地定义.
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1701040556 记例如Rn={(x1,…,xn)|xi∈R},称X2=X×X的子集
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1701040558     Δ(X):={(x,x)|∀x∈X}
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1701040560 为对角子集(常简记作Δ).
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1701040562 4.等价关系
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1701040564 集合X上的一个关系R是X×X的一个子集,当(x1,x2)∈R时,说x1与x2R相关,记作x1Rx2.
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1701040566 集合X的一个关系R称为等价关系,如果满足:
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1701040568 (1)自反性:∀x∈X,xRx(即Δ(X)⊂R);
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1701040570 (2)对称性:若x1Rx2,则x2Rx1;
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1701040572 (3)传递性:若x1Rx2,x2Rx3,则x1Rx3.
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1701040574 等价关系常用~表示,如x1Rx2记作x1~x2,称为x1等价于x2.当X上有等价关系~时,可把X分成许多子集:凡是互相等价的点属同一子集.称每个子集为一个~等价类,记X/~是全部等价类的集合,称为X关于~的商集.∀x∈X所在等价类记作〈x〉.于是
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1701040576 X/~={〈x〉|x∈X}.
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1701040581 基础拓扑学讲义 [:1701040199]
1701040582 基础拓扑学讲义 第一章 拓扑空间与连续映射
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1701040584 引言中我们已经在欧氏空间及其子集的范围内说明了什么是图形间的拓扑变换,什么是图形的拓扑性质.但是,许多数学分支的活动范围早已突破了欧氏空间的限制,甚至也超出了度量空间的领域,拓扑学作为这些数学分支的基础,必须研究更加一般的空间.现在我们要找一种能用来刻画拓扑性质的新的空间结构,以替代欧氏结构和度量结构.这种新结构就是所谓拓扑结构.
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1701040586 基础拓扑学讲义 [:1701040200]
1701040587 §1 拓扑空间
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1701040589 映射的连续性是刻画拓扑变换的关键概念,因此我们寻找的新结构要能用来刻画连续性概念.先回顾数学分析中函数连续性是怎么规定的.
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1701040591 设f:E1→E1是一个函数,x0∈E1.f在x0处连续的含义有多种描述方法,例如:
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1701040593 用序列语言:如果序列{xn}收敛到x0,则序列{f(xn)}收敛到f(x0);
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1701040595 用ε-δ语言:对任意正数ε>0,总可找到δ>0,使得当|x-x0|<δ时,|f(x)-f(x0)|<ε;
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1701040597 用开集语言:若V是包含f(x0)的开集①,则存在包含x0的开集U,使得f(U)⊂V.
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1701040599 ε-δ法用到E1中的距离概念;序列方法用的也是距离,因为{xn}收敛到x0也就是|xn-x0|→0.因此,这两种方法可直接用来规定度量空间之间映射的连续性.第三种方法则绕开了度量,直接用E1中的开集刻画连续性.于是,只要知道图形的哪些子集是开集,就可规定映射的连续性概念.所谓拓扑空间就是具有开集结构的空间.
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