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1.1 拓扑空间的定义
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设X是一个非空集合，记2X是X的幂集，即以X的所有子集（包含空集∅和X自己）为成员的集合．把2X的子集（即以X的一部分子集为成员的集合）称为X的子集族．
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定义1.1 设X是一非空集合．X的一个子集族τ称为X的一个拓扑，如果它满足
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（1）X，∅都包含在τ中；
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（2）τ中任意多个成员的并集仍在τ中；
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（3）τ中有限多个成员的交集仍在τ中．
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集合X和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记作（X，τ）．称τ中的成员为这个拓扑空间的开集．
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定义中的三个条件称为拓扑公理．（3）可等价地换为
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（3′）τ中两个成员的交集仍在τ中．
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（3）蕴含（3′），另一方面容易用归纳法从（3′）推出（3）．
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从定义看出，给出集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集．这种规定不是任意的，必须满足三条拓扑公理．但是一般来说一个集合上可以规定许多不相同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时，要同时指明集合及所规定的拓扑．以后在不会引起误解的情况下，也常常只用集合来称呼一个拓扑空间，如拓扑空间X，拓扑空间Y等．
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设X是一非空集合．显然2X构成X上的拓扑，称为X上的离散拓扑；｛X，∅｝也是X上的拓扑，称为X上的平凡拓扑．当X中包含多于一个点时，这两个拓扑不相同，并且X还有许别的拓扑．例如设X＝｛a，b，c｝，则｛X，∅，｛a｝｝，｛X，∅，｛a，b｝｝，｛X，∅，｛a｝，｛a，b｝｝都是X上的拓扑；但｛X，∅，｛a｝，｛b｝｝不是拓扑，因为条件（2）不满足；读者还可找到许多别的拓扑．
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设τ1，τ2是集合X上的两个拓扑，如果τ1⊂τ2，则说τ2比τ1大（或说τ2比τ1精细）．离散拓扑比任何别的拓扑都大，而平凡拓扑比别的拓扑都小．
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下面给出几个有用的例子．
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例1 设X是无穷集合，τf＝｛Ac｜A是X的有限子集｝∪｛∅｝，则不难验证τf是X的一个拓扑，称为X上的余有限拓扑．
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例2 设X是不可数无穷集合，τc＝｛Ac｜A是X的可数子集｝U｛∅｝，则τc也是X的拓扑，称为余可数拓扑．
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例3 设R是全体实数的集合，规定τe＝｛U｜U是若干个开区间的并集｝，这里“若干”可以是无穷，有限，也可以是零，因此∅∈τe．则τe是R上的拓扑，称为R上的欧氏拓扑．记E1＝（R，τe）．
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现在，对R已规定了五个拓扑：平凡拓扑τt，离散拓扑τs，余有限拓扑τf，余可数拓扑τc和欧氏拓扑τe．τf小于τc和τe，而τc与τe不能比较大小．
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1.2 度量拓扑
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集合X上的一个度量d是一个映射d：X×X→R，它满足
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（1）正定性：d（x，x）＝0，∀x∈X，
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d（x，y）＞0，当x≠y；
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（2）对称性：d（x，y）＝d（y，x），∀x，y∈X；
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（3）三角不等式：
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d（x，z）≤d（x，y）＋d（y，z）， ∀x，y，z∈X．
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