打字猴:1.7010406e+09
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1701040601 1.1 拓扑空间的定义
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1701040603 设X是一个非空集合,记2X是X的幂集,即以X的所有子集(包含空集∅和X自己)为成员的集合.把2X的子集(即以X的一部分子集为成员的集合)称为X的子集族.
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1701040605 定义1.1 设X是一非空集合.X的一个子集族τ称为X的一个拓扑,如果它满足
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1701040607 (1)X,∅都包含在τ中;
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1701040609 (2)τ中任意多个成员的并集仍在τ中;
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1701040611 (3)τ中有限多个成员的交集仍在τ中.
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1701040613 集合X和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间,记作(X,τ).称τ中的成员为这个拓扑空间的开集.
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1701040615 定义中的三个条件称为拓扑公理.(3)可等价地换为
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1701040617 (3′)τ中两个成员的交集仍在τ中.
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1701040619 (3)蕴含(3′),另一方面容易用归纳法从(3′)推出(3).
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1701040621 从定义看出,给出集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集.这种规定不是任意的,必须满足三条拓扑公理.但是一般来说一个集合上可以规定许多不相同的拓扑,因此说到一个拓扑空间时,要同时指明集合及所规定的拓扑.以后在不会引起误解的情况下,也常常只用集合来称呼一个拓扑空间,如拓扑空间X,拓扑空间Y等.
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1701040623 设X是一非空集合.显然2X构成X上的拓扑,称为X上的离散拓扑;{X,∅}也是X上的拓扑,称为X上的平凡拓扑.当X中包含多于一个点时,这两个拓扑不相同,并且X还有许别的拓扑.例如设X={a,b,c},则{X,∅,{a}},{X,∅,{a,b}},{X,∅,{a},{a,b}}都是X上的拓扑;但{X,∅,{a},{b}}不是拓扑,因为条件(2)不满足;读者还可找到许多别的拓扑.
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1701040625 设τ1,τ2是集合X上的两个拓扑,如果τ1⊂τ2,则说τ2比τ1大(或说τ2比τ1精细).离散拓扑比任何别的拓扑都大,而平凡拓扑比别的拓扑都小.
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1701040627 下面给出几个有用的例子.
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1701040629 例1 设X是无穷集合,τf={Ac|A是X的有限子集}∪{∅},则不难验证τf是X的一个拓扑,称为X上的余有限拓扑.
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1701040631 例2 设X是不可数无穷集合,τc={Ac|A是X的可数子集}U{∅},则τc也是X的拓扑,称为余可数拓扑.
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1701040633 例3 设R是全体实数的集合,规定τe={U|U是若干个开区间的并集},这里“若干”可以是无穷,有限,也可以是零,因此∅∈τe.则τe是R上的拓扑,称为R上的欧氏拓扑.记E1=(R,τe).
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1701040635 现在,对R已规定了五个拓扑:平凡拓扑τt,离散拓扑τs,余有限拓扑τf,余可数拓扑τc和欧氏拓扑τe.τf小于τc和τe,而τc与τe不能比较大小.
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1701040637 1.2 度量拓扑
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1701040639 集合X上的一个度量d是一个映射d:X×X→R,它满足
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1701040641 (1)正定性:d(x,x)=0,∀x∈X,
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1701040643        d(x,y)>0,当x≠y;
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1701040645 (2)对称性:d(x,y)=d(y,x),∀x,y∈X;
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1701040647 (3)三角不等式:
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1701040649   d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z), ∀x,y,z∈X.
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