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（3）有限个闭集的并集是闭集．
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证明 这是由三条拓扑公理推出的．（2）和（3）分别由拓扑公理（2）和（3）应用De Morgan公式推出．（1）是因为∅和X都是开集． ▎
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2．邻域、内点和内部
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定义1.3 设A是拓扑空间X的一个子集，点x∈A．如果存在开集U，使得x∈U⊂A，则称x是A的一个内点，A是x的一个邻域．A的所有内点的集合称为A的内部，记作
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命题1.3 （1）若A⊂B，则
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（2）是包含在A中的所有开集的并集，因此是包含在A中的最大开集；
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（3）是开集；
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（4）
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（5）
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证明 （1）若x是A的内点，取开集U使得x∈U⊂A；因为A⊂B，所以U⊂B，于是x也是B的内点，这样，A的内点都是B的内点，
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（2）记｛Uα｜α∈｝是包含在A中的所有开集构成的子集族．根据定义，则x为A的内点）．因此反之，若由定义，x必属于某个Uα，从而
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（3）由（2）知，是开集．若则A也是开集；反之，当A是开集时，由（2）推出
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（4）对（A∩B）⊂A用（1），得同理有得到对用（1），得到（等号根据（3））．
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