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(3)有限个闭集的并集是闭集.
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证明 这是由三条拓扑公理推出的.(2)和(3)分别由拓扑公理(2)和(3)应用De Morgan公式推出.(1)是因为∅和X都是开集. ▎
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2.邻域、内点和内部
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定义1.3 设A是拓扑空间X的一个子集,点x∈A.如果存在开集U,使得x∈U⊂A,则称x是A的一个内点,A是x的一个邻域.A的所有内点的集合称为A的内部,记作
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命题1.3 (1)若A⊂B,则
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(2)是包含在A中的所有开集的并集,因此是包含在A中的最大开集;
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(3)是开集;
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(4)
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(5)
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证明 (1)若x是A的内点,取开集U使得x∈U⊂A;因为A⊂B,所以U⊂B,于是x也是B的内点,这样,A的内点都是B的内点,
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(2)记{Uα|α∈}是包含在A中的所有开集构成的子集族.根据定义,则x为A的内点).因此反之,若由定义,x必属于某个Uα,从而
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(3)由(2)知,是开集.若则A也是开集;反之,当A是开集时,由(2)推出
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(4)对(A∩B)⊂A用(1),得同理有得到对用(1),得到(等号根据(3)).
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