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（5）因为是包含在A∪B中的开集，根据结论（2），有 ▎
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用归纳法，从（4）可推出但对无穷多个子集的交集相应结果不成立．一般地（5）不能把包含号改为等号．请读者自己找出反例．
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3．聚点与闭包
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定义1.4 设A是拓扑空间X的子集，x∈X．如果x的每个邻域都含有A｛x｝中的点，则称x为A的聚点．A的所有聚点的集合称为A的导集，记作A′．称集合为A的闭包．
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由定义不难推出：的任一邻域与A都有交点．
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闭包与内部这两个概念有密切关系，具体表现为
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命题1.4 若拓扑空间X的子集A与B互为余集，则与互为余集．
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证明有邻域与A不相交
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x有邻域包含在B中
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x是B的内点，
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因此 ▎
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命题1.5 （1）若A⊂B，则
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（2）是所有包含A的闭集的交集，所以是包含A的最小的闭集；
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（3）是闭集；
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（4）
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（5）
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证明留给读者．（可用命题1.3的结果，或用其方法．）
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聚点的概念在欧氏空间中早已出现．要注意现在的推广概念在意义上已发生一些改变．欧氏空间中集合A的聚点的近旁确实聚集了A的无穷多个点，因此有限集是没有聚点的．而在拓扑空间中则不然．例如设X＝｛a，b，c｝，规定拓扑为τ＝｛X，∅，｛a｝｝，则当A＝｛a｝时，b和c都是A的聚点，因为b或c的邻域只有X一个，它包含a．a不是A的聚点，因为A｛a｝＝∅．
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