打字猴:1.70104076e+09
1701040760 (5)因为是包含在A∪B中的开集,根据结论(2),有 ▎
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1701040763 用归纳法,从(4)可推出但对无穷多个子集的交集相应结果不成立.一般地(5)不能把包含号改为等号.请读者自己找出反例.
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1701040765 3.聚点与闭包
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1701040768 定义1.4 设A是拓扑空间X的子集,x∈X.如果x的每个邻域都含有A{x}中的点,则称x为A的聚点.A的所有聚点的集合称为A的导集,记作A′.称集合为A的闭包.
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1701040771 由定义不难推出:的任一邻域与A都有交点.
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1701040773 闭包与内部这两个概念有密切关系,具体表现为
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1701040777 命题1.4 若拓扑空间X的子集A与B互为余集,则与互为余集.
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1701040780 证明有邻域与A不相交
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1701040783 x有邻域包含在B中
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1701040786 x是B的内点,
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1701040789 因此 ▎
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1701040792 命题1.5 (1)若A⊂B,则
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1701040795 (2)是所有包含A的闭集的交集,所以是包含A的最小的闭集;
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1701040798 (3)是闭集;
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1701040806 证明留给读者.(可用命题1.3的结果,或用其方法.)
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1701040808 聚点的概念在欧氏空间中早已出现.要注意现在的推广概念在意义上已发生一些改变.欧氏空间中集合A的聚点的近旁确实聚集了A的无穷多个点,因此有限集是没有聚点的.而在拓扑空间中则不然.例如设X={a,b,c},规定拓扑为τ={X,∅,{a}},则当A={a}时,b和c都是A的聚点,因为b或c的邻域只有X一个,它包含a.a不是A的聚点,因为A{a}=∅.
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