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（5）
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证明 （1）若x是A的内点，取开集U使得x∈U⊂A；因为A⊂B，所以U⊂B，于是x也是B的内点，这样，A的内点都是B的内点，
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（2）记｛Uα｜α∈｝是包含在A中的所有开集构成的子集族．根据定义，则x为A的内点）．因此反之，若由定义，x必属于某个Uα，从而
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（3）由（2）知，是开集．若则A也是开集；反之，当A是开集时，由（2）推出
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（4）对（A∩B）⊂A用（1），得同理有得到对用（1），得到（等号根据（3））．
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（5）因为是包含在A∪B中的开集，根据结论（2），有 ▎
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用归纳法，从（4）可推出但对无穷多个子集的交集相应结果不成立．一般地（5）不能把包含号改为等号．请读者自己找出反例．
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3．聚点与闭包
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定义1.4 设A是拓扑空间X的子集，x∈X．如果x的每个邻域都含有A｛x｝中的点，则称x为A的聚点．A的所有聚点的集合称为A的导集，记作A′．称集合为A的闭包．
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由定义不难推出：的任一邻域与A都有交点．
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闭包与内部这两个概念有密切关系，具体表现为
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命题1.4 若拓扑空间X的子集A与B互为余集，则与互为余集．
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证明有邻域与A不相交